Геометрический смысл смешанного произведения

Условие компланарности трех векторов.

Рассмотрим правую тройку некомпланарных векторов , , . Приведем их в общее начало и построим параллелепипед, в котором векторы , , будут ребрами, выходящими из одной вершины.

Обозначим буквой высоту параллелепипеда, буквой площадь его основания (площадь параллелограмма, построенного на векторах , ), а буквой объем параллелепипеда.

Далее: .

В случае левой тройки некомпланарных векторов , , угол между вектором и вектором будет тупым, и . Поэтому

Если векторы , , компланарны, то либо , либо . В обоих случаях . (Можно также повторить предыдущее геометрическое рассмотрение, считая параллелепипед вырожденным, имеющим нулевую высоту или площадь основания).

Итак, мы установили, что смешанное произведение векторов , , равно объему параллелепипеда построенного на этих векторах в случае, когда тройка правая, или объему, взятому со знаком минус в случае левой тройки.

Кроме того, мы получили условие компланарности трех пространственных векторов: векторы , , компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю.

Используя это условие компланарности, мы получим, что 4 точки , , , будут лежать в одной плоскости тогда и только тогда, когда .