Формула для вычисления скалярного произведения векторов, заданных своими координатами

Рассмотрим два вектора на плоскости и . Эти векторы можно представить как линейные комбинации базисных векторов и :

Заметим, что , и , так как и - это единичные и взаимно перпендикулярные векторы.

Теперь, используя свойства скалярного произведения, получим:

Итак:

Рассуждая аналогично для векторов в пространстве и , получим:

Замечание.

Рассмотрим вектор . Очевидно, что .

Отсюда получим, что , , .