Объем параллелепипеда

Для объема параллелепипеда построенного на тройке векторов , , имеем формулу: .

Объем тетраэдра (треугольной пирамиды).

Рассмотрим треугольную пирамиду :

Построим параллелепипед на тройке векторов . Заметим, что площадь основания пирамиды в два раза меньше площади основания параллелепипеда, а высоты у них равны. Получаем:

Если тройка , , -правая, то и тройка векторов , , будет правой. Параллелепипед, построенный на тройке , , , совпадает с параллелепипедом, построенным на тройке , , . Поэтому

.

Теперь мы можем доказать остававшееся недоказанным свойство векторного произведения: .