2015-06-28
1618
Определение 1. Скалярным произведением векторов 
и 
называется операция (результат операции), ставящая в соответствии упорядоченной паре векторов и скаляр, равный произведению длин векторов на косинус угла между ними. 
.
Замечание. Из определения скалярного произведения, следует, что 
.
Замечание. Заметим, что 
. Если взять вектор такой, что 
, то 
. Таким образом, скалярное произведение одного вектора на другой, имеющий единичную длину, равно проекции первого вектора на направление, определяемое вторым. В этом заключается геометрический смысл скалярного произведения.
Замечание. Механический смысл скалярного произведения. Если рассмотреть действия силы 
на материальную точку при её перемещении по вектору 
, то работа 
, совершаемая этой силой равна: 
.
Свойства скалярного произведения:
1. Коммутативность: 
.
Доказательство: 
. ■
2. Унитарность: 
, причём 
тогда и только тогда, когда 
.
Доказательство: 
. ■
3. Однородность: 
.
Доказательство: 
. ■
4. Дистрибутивность: 
.
Доказательство: 
. ■
|
|
|
Замечание. «однородность + дистрибутивность = линейность».
Теорема1. Критерий ортогональности
Пусть векторы 
и 
. Тогда 
тогда и только тогда, когда 
.
Пример. В треугольнике 
медиана 
перпендикулярна биссектри 
се 
, причём 
. Найти угол 
.
Решение:
Обозначим 
, 
, 
и 
. Тогда 
. Выразим 
.
Известно, что биссектриса угла делит противолежащую сторону в отношении, равном отношении длин прилежащих сторон. Таким образом, 
. По условию, 
, т.е. 
.
Так как 
, 
, то 
. (В этом можно было убедиться и геометрически: по условию задачи, в 
биссектриса 
является и высотой, а значит, – равнобедренный, т.е. 
).
Таким образом, 
, 
. Следовательно, 
. Отсюда находим 
.
