П. 7 Скалярное произведение векторов

Определение 1. Скалярным произведением векторов и называется операция (результат операции), ставящая в соответствии упорядоченной паре векторов и скаляр, равный произведению длин векторов на косинус угла между ними. .

Замечание. Из определения скалярного произведения, следует, что .

Замечание. Заметим, что . Если взять вектор такой, что , то . Таким образом, скалярное произведение одного вектора на другой, имеющий единичную длину, равно проекции первого вектора на направление, определяемое вторым. В этом заключается геометрический смысл скалярного произведения.

Замечание. Механический смысл скалярного произведения. Если рассмотреть действия силы на материальную точку при её перемещении по вектору , то работа , совершаемая этой силой равна: .

Свойства скалярного произведения:

1. Коммутативность: .

Доказательство: . ■

2. Унитарность: , причём тогда и только тогда, когда .

Доказательство: . ■

3. Однородность: .

Доказательство: . ■

4. Дистрибутивность: .

Доказательство:
. ■

Замечание. «однородность + дистрибутивность = линейность».

Теорема1. Критерий ортогональности

Пусть векторы и . Тогда тогда и только тогда, когда .

Пример. В треугольнике медиана перпендикулярна биссектри се , причём . Найти угол .

Решение:

Обозначим , , и . Тогда . Выразим .

Известно, что биссектриса угла делит противолежащую сторону в отношении, равном отношении длин прилежащих сторон. Таким образом, . По условию, , т.е.
.

Так как , , то . (В этом можно было убедиться и геометрически: по условию задачи, в биссектриса является и высотой, а значит, – равнобедренный, т.е. ).

Таким образом, , . Следовательно, . Отсюда находим .