Свойства смешанного произведения. Очевидно, что , так как каждая часть равенства выражает объём параллелепипеда, построенного на векторах

Очевидно, что , так как каждая часть равенства выражает объём параллелепипеда, построенного на векторах , , . Заметим, что обе тройки , , и , , правые, значит
в силу коммутативности скалярного произведения. ■

2. Правило циклической перестановки:

.

Доказательство:

Модули всех этих смешанных произведений равны. Первые три смешанных произведения имеют одну ориентацию, последние три – другую. ■

3. Линейность по каждому аргументу:

,

,

.

Поскольку и скалярные, и векторные произведения однородны и дистрибутивны, т.е. линейны, то и смешанное произведение линейно по всем трем векторам. ■

Теорема 1. К ритерий компланарности векторов

Векторы , компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение .

Доказательство:

Пусть векторы , , .

Необходимость. Путь векторы , компланарны.

По определению они лежат в одной или параллельных плоскостях. Совмести их начала, тогда все три вектора лежат в одной плоскости, отсюда . Следовательно, .

Достаточность. Пусть . Тогда либо , либо . Если , то векторы и коллинеарные, следовательно, векторы , , - компланарны.

Если , то вектор лежит в той же плоскости, что векторы и , т.е. , , - компланарны. ■