Определение 1. Рассмотрим некоторую произвольную тройку некомпланарных векторов ,
,
, приведённых к точке
. Тройка векторов
,
,
называется правой, если для неё выполняется правило буравчика: глядя с конца вектора
и
, можно увидеть, что кратчайший поворот от
к
происходит против часовой стрелки.
Определение 2. Векторным произведением векторов называется операция (ре зультат операции), которая любой упорядоченной паре векторов
и
ставит в соответствие вектор
, обладающий следующими свойствами:
1) ;
2) вектор ортогонален каждому
из и
;
3) ,
,
– правая тройка;
4) если и
- коллинеарные, то
=
.
Замечание. Геометрический смысл векторного произведения двух векто ров
и
состоит в том, что модуль
равен площади
параллелограмма, построенного на векторах
и
.
Замечание. Механический смысл векторного произведения. Если вектор
изображает приложенную в некоторой точке М силу, а вектор
идёт из некоторой точки О в точку М, то вектор
представляет собой момент силы
относительно точки О.
Свойства векторного произведения:
1. Антикоммутативность: .
Доказательство:
Положим ,
. По определению векторы
и
имеют одинаковую длину. Также в силу того, что оба вектора
и
ортогональны к плоскости, определяемой векторами
и
, вектор
коллинеарен вектору
. Тогда либо
, либо
. Если бы имело место первое равенство, то по определению, обе тройки
,
,
и
,
,
оказались бы правыми, но это невозможно. Итак,
. ■
2. Однородность: .
Доказательство:
Положим ,
. Пусть векторы
и
не коллинеарные и
. Обозначим
и
. По определению
,
.
Возможны два случая:
![]() ![]() | ![]() ![]() |
Рис. 2.30 |
В обоих случаях , тогда
. Далее, заметим, что векторы
и
коллинеарные. Остаётся проверить, что эти векторы имеют одинаковое направление.
Пусть , тогда векторы
, а значит и векторы
. Итак,
. ■
3. Дистрибутивность:
Доказательство:
Для доказательства приведём две леммы.
Лемма 1. Векторное произведение произвольного вектора плоскости
на единичный вектор
, ортогональный плоскости
, поворачивает вектор
на угол
по часовой стрелке, если смотреть с конца вектор
.
Доказательство:
По определению
, причём вектор
ортогонален векторам
и
, значит, он лежит на плоскости
. Тройка векторов
,
,
правая, следовательно, поворот от вектора
к вектору
совершается на
по часовой стрелке, если смотреть с конца вектора
. ■
Лемма 2. Векторное произведение произвольного вектора на единичный вектор
равно
, где
– геометрическая проекция вектора
на плоскость
, ортогональную вектору
.
Доказательство:
По определению векторного произведения векторы
. Рассмотрим их модули:
;
. По условию
. ■
Теперь вернёмся к доказательству дистрибутивности . Для простоты рассмотрим вместо вектора
его орт
. Пусть векторы
,
,
некомпланарные. Обозначим
,
– геометрические проекции векторов
на плоскость
ортогональному вектору
. Тогда по лемме 2 имеем
, причём вектор
получен поворотом вектора
на угол
по часовой стрелке (по лемме 1).
Аналогично, и
, причём векторы
и
получены поворотами векторов
и
на угол
по часовой стрелке, соответственно. Тогда сумма
даёт нам вектор
, т.е.
.
Таким образом, мы показали, что . Умножим обе части равенства на
, получим:
. ■
Теорема1. Критерий коллинеарности
Векторы и
коллинеарные тогда и только тогда, когда
. (доказать самостоятельно)