2015-06-28
618
Рассмотрим векторы 
, 
, 
в ДПСК 
. Тогда, учитывая, что
,
получаем 
.
Пример. При каком 
векторы 
, 
, 
будут компланарны?
Решение:
Воспользуемся критерием компланарности. Векторы 
, 
, 
компланарны тогда и только тогда, когда 
. Вычислим определитель и решим уравнение относительно : 
; 
.
Пример. Даны векторы 
, 
, 
трёх рёбер тетраэдра 
, выходящих из вершины 
. Найти вектор 
высоты тетраэдра, опущенной из вершины на плоскость 
.
Решение:
Вектор ортогонален плоскости , т.е. коллинеарен вектору 
. 
Следовательно, существует такое число 
, что 
. Вектор 
компланарен векторам 
и 
. Тогда найдутся такие числа 
и 
, что 
. Получаем для 
, 
. Умножим обе части равенства скалярно на 
и получим: 
, т.е. 
. Таким образом,
.
п. 11.2 Двойное векторное произведение
векторов
Определение 1. Двойным векторным произведением векторов , , называют вектор 
, равный векторному произведению одного из векторов тройки на векторное произведение оставшихся 
.
Замечание. Мнемоническое правило для запоминания: 
.
Теорема1. 
.
Доказательство:
| рис. 2.39 |
Из определения векторного произведения вектор 
ортогонален плоскости 
. Вектор 
ортогонален плоскости, в которой лежат вектора и , т.е. лежит в плоскости . Таким образом, вектор можно разложить по базису 
(в силу неколлинеарности векторов и ): 
. Умножим последнее равенство скалярно на вектор , получим 
. Так как векторы и ортогональны, то 
, т.е. 
.
Итак, 
, учитывая коммутативность скалярного произведения. Покажем, что 
. Введём ДПСК 
так, чтобы векторы 
и были коллинеарными. Тогда 
. Рассмотрим произведение 
, 
; 
, 
;
, 
.
Сравнивая последнее равенство со следующим 
, получаем . ■
