Рассмотрим векторы , , в ДПСК . Тогда, учитывая, что
,
получаем .
Пример. При каком векторы , , будут компланарны?
Решение:
Воспользуемся критерием компланарности. Векторы , , компланарны тогда и только тогда, когда . Вычислим определитель и решим уравнение относительно : ; .
Пример. Даны векторы , , трёх рёбер тетраэдра , выходящих из вершины . Найти вектор высоты тетраэдра, опущенной из вершины на плоскость .
Решение:
Вектор ортогонален плоскости , т.е. коллинеарен вектору
. Следовательно, существует такое число , что . Вектор компланарен векторам и . Тогда найдутся такие числа и , что . Получаем для , . Умножим обе части равенства скалярно на и получим: , т.е. . Таким образом,
.
п. 11.2 Двойное векторное произведение
векторов
Определение 1. Двойным векторным произведением векторов , , называют вектор , равный векторному произведению одного из векторов тройки на векторное произведение оставшихся .
Замечание. Мнемоническое правило для запоминания: .
Теорема1. .
Доказательство:
|
|
рис. 2.39 |
Из определения векторного произведения вектор ортогонален плоскости . Вектор ортогонален плоскости, в которой лежат вектора и , т.е. лежит в плоскости . Таким образом, вектор можно разложить по базису (в силу неколлинеарности векторов и ): . Умножим последнее равенство скалярно на вектор , получим . Так как векторы и ортогональны, то , т.е. .
Итак, , учитывая коммутативность скалярного произведения. Покажем, что . Введём ДПСК так, чтобы векторы и были коллинеарными. Тогда . Рассмотрим произведение , ; , ;
, .
Сравнивая последнее равенство со следующим , получаем . ■