Свойства параболы

1. Фокальное свойство: отсутствует.

2. Директориальное свойство: парабола – ГМТ (геометрическое место точек), равноудаленных от фокуса и директрисы, т.е. .

Доказательство:

Рассмотрим , . Тогда , , . ■

3. Оптическое свойство: парабола – ГМТ (геометрическое место точек), в которых касательная образует равные углы с фокальным радиусом и положительным направлением оси .

Другими словами, лучи света, исходящие из фокуса параболы, после зеркального отражения от параболы, образуют пучок, параллельный оси параболы. И наоборот, все лучи, параллельные фокальной оси, отражаясь от параболы, попадают в фокус параболы.

Доказательство:

Рассмотрим параболу или . Покажем, что .

Запишем уравнение касательной к параболе, проходящей через точку : .

Так как , то

. По директориальному свойству . Отсюда . Следовательно, треугольник равнобедренный, т.е. . ■