Правило сложения вероятностей

Для простоты рассмотрим лишь два события — А и В. Правило сложения вероятностей применяется для подсчета вероятности осуществления событий А или В, или их обоих сразу:

Р(А + В) = Р(А) + А(В) - Р(АВ).

Если события А и В несовместимы, то:

• Р(А+В) = Р(А) + Р(В).

Так как события А и В — несовместимые, то они не могут произойти одновременно, значит:

Р(АВ) = 0.

О Пример 1.7. Игральная кость брошена один раз. Какова вероятность выпаде­ния «двойки» или нечетного числа?

Решение.

Возможны 6 исходов — 1, 2, 3, 4, 5, и 6- Назовем событием А выпадение «двойки», а событием В — выпадение «единицы», «тройки» или «пятерки».

Решить задачу можно либо по правилу симметрии, либо используя правило сложения вероятностей.

1. По правилу симметрии:

и -,. Число благоприятных исходов (т.е. 2 или 1, 3, 5) 4

Р (2 или нечетное число) =--------------------- *— -------------------»-------------- '■ — —^L = -.

Общее число исходов б

2. По формуле сложения вероятностей:

два события несовместимы, значит:

Р(АВ) = 0, поэтому Р(А+В) = Р(А) + Р(В).

Отсюда

Гл. 1. Основы теории вероятностей 17

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) = | + | = |.

LJ Пример 1.8. Игральная кость брошена один раз. Какова вероятность выпадения «двойки»- или четного числа?

Решение.

События совместимы, когда они могут произойти одновременно. Поэтому:

1. По правилу симметрии: существуют три исхода — 2, 4, 6, следовательно, вероятность появления •«двойки»' или любого другого четного числа равна 3/6.

2. По правилу сложения вероятностей:

Р (А + В) = Р (А) + Р (В) - Р (АВ), а так как А и В не являются взаимоисключающими, то

□ Пример 1.9. Число дефектов в изделии может быть любым — 0,1, 2, 3, 4, и т.д.
По оценке компании вероятность отсутствия дефекта составляет 0,9, а вероятность
наличия одного дефекта — 0,05. Какова вероятность, что в изделии не больше,
чем один дефект?

Решение.

Р(не больше, чем один дефект) = Р(отсутствие дефектов или один). Опять события несовместимы, поэтому:

Р (отсутствие дефектов или один) = = Р(отсутсгвие дефектов) + Р(один дефект) + 0,9 + 0,05 = 0,95.

□ Пример 1.10. Прогноз метеорологов:

Р(дождь) = 0,4; Р(ветер) = 0,7; Р(дождь и ветер) = 0,2.

Какова вероятность того, что будет дождь или ветер? Решение. По формуле сложения вероятностей:

Р(дождь или ветер или то, и другое) =

= Р (дождь) + Р(ветер) - Р(дождь и ветер) = =0,4 + 0,7 - 0,2 = 0,9.

Мы использовали таблицы, схемы, логические «деревья»- для иллюстрации возможных исходов эксперимента. Диаграмма Венна — еще один вид представления результата в графической форме. Здесь события изображены в виде окружностей, помещенных внутри прямоугольника. В данном случае одна окружность обозначает дождь, другая — ветер. Их общее пространство — дождь и ветер. Свободная площадь — отсутствие дождя и ветра. Значения вероятностей должны быть простав­лены в соответствующих местах диаграммы (см. рис. 1.3):

. 1. Основы теории вероятностей

Если А и В независимы, то Р (В/А) = Р (В),и правило выглядит так:

Р (АВ)» Р (А) х Р (В).

О Пример 1.12. Игральная кость брошена дважды. Событие А — выпадение "двой­ки" при первом бросании, событие В — вьшадение нечетного числа при втором бросании. Какова вероятность того, что события А и В произойдут в одном эксперименте?