В случае 1 вероятность того, что второй вытащенный шар будет красным, Равна 7/13

В случае 2 вероятность равна 8/13.

Правило умножения вероятностей

j**° правило применяется, когда требуется найти вероятность того, что события А и ° Вроизойдут одновременно. Правило умножения вероятностей состоит в следующем:

Р (АВ)»= Р (А) х Р (В/А).

1 0Ч. 1. Принятие решений в условиях недостатка информации

Результат верхней «ветви» — это решение нашей задачи — (3/36), как и в первом варианте решения.

Q Пример 1.13. На станции отправления имеется 8 заказов на отправку товара: пять — внутри страны, а три — на экспорт. Какова вероятность того, что два выбранных наугад заказа окажутся предназначенными для потребления внутри страны?

Решение.

Событие А — первый взятый наугад заказ — внутри страны. Событие В — второй, тоже взятый наугад заказ. Нам необходимо найти вероятность Р (АВ), поэтому по формуле:

Р (АВ) = Р (А) х Р (В/А) = | х | = Ц.

Правило вычисления вероятностей для более чем двух событий

Рассмотренные правила применимы также, если событий более, чем два. Для несо­вместимых событий правило сложения вероятностей приобретает следующий вид:

Р(А + В + С+...)»Р(А)+Р(В) + Р(С)+...

Для совместимых событий формула приобретает очень сложный вид.

Для независимых событий правило умножения вероятностей имеет следующий вид:

Р (А и В и С и...) = Р (А) х Р (В) х Р (С) х...

Если события не являются независимыми, то правило умножения вероятностей запишется как:

Р (А х В х С х...). Р (А) х Р (В/А) х Р (С/АВ) х...

□ Пример 1.14. Совет директоров состоит из трех бухгалтеров, трех менедже­ров и двух инженеров. Планируется создать подкомитет из его членов. Какова вероятность того, что все трое в этом подкомитете будут бухгалтеры? Решение.

Используем схему «дерево», где А — выбран бухгалтер, А* — выбран не бухгалтер (см. рис. 1.6).

После составления «дерева» проставляем на каждой «ветви» вероятность исхода, которая изменяется по мере уменьшения числа возможных кандидатов: 8 — 7 — 6. Аналогично при избрании одного бухгалтера число оставшихся неизбранными уменьшается на единицу: от 3 до 2. Вероятности зависят от произошедших ранее событий.

Из диаграммы следует, что вероятность избрания всех трех бухгалтеров в члены подкомитета равна: (3/8) х (2/7) х (1/6) = 1/56. Однако для решения задачи можно обойтись и без диаграммы:

Р(все члены — бухгалтеры) = Р(1-й член — бухгалтер и

2-й член — бухгалтер н 3-й член — бухгалтер) = Р(1-й член — бухгалтер) х

Гл. 1. Основы теории вероятностей

AJ3/8)

А<5/8)

Й член

		3-й член	АО/6^,	Иогад ,ААА	Вероятность 3/8 х 2/7 х 1/4
2-й член г	А12/Л,	3-й член	А*(5/6) Aj2^__,	.AAA', АА* А	3/8 х 2/7 х 5/6 3/8 х 5/7 х 2/6
	А(5/7)		А*(4/6)	- А А* А*	3/8 х 5/7 х 4/6
		3-й член	А(2/6|__->	, А' А А.	5/8 х 3/7 х 2/6
!\	НУП^		А*(4/6)	- А* А А'	5/8 х 3/7 х 4/6
2-й член	А-(4/7)	3-й член	А|3/6)__ А.'(3/«)	_ А* А" А -. А* А* А*	5/8 х 4/7 х 3/6 5/8 х 4/7 х 3/6

Рис. 1.6. Выборы подкомитет» трех человек

(А — выбран бухгалтер, А* — выбрав не бухгалтер)

Р(2-й член — бухгалтер при условии, что 1-й член — бухгалтер) х Р(3-й член — бухгалтер при условии, что 1-й и 2-й члены — бухгалтеры)* = (3/8) ж (2/7) х (1/6) = 1/56.

П Пример¹1.15. Станок работает при условии одновременного функционирова­ния узлов А, В и С, которые работают независимо друг от друга. Вероятность поломки этих узлов равна 0,2; 0,3; 0,1 соответственно. Какова вероятность, что станок выйдет из строя?