2015-06-30
1168
Для любой дискретной случайной величины математическое ожидание составляет:
Е (г) - £ г Р (г),
Может быть показано, что для случайной величины с биномиальным распределением вероятностей:
Е (г) - X г Р (г) = пр,
где п — число опытов;
р — вероятность успеха в каждом из них; Р (г) — биномиальная вероятность.
Аналогично стандартное отклонение для дискретной случайной величины равно:
o-V^VPW-grPW)2 • Для случайной величины с биномиальным распределением вероятностей: о - л/£ г2 Р (г) - (X г Р (г))2 - Vn р (1 - р) = ViiTq •
Следовательно, дисперсия равна or = Vn p q, где q — вероятность "неудачи" в любом из опытов.
Эти характеристики биномиального распределения расчитаны в примере 2.5.
О Пример 2.5. По данным примера 2.4 найдем математическое ожидание сломавшихся за день станков и стандартное отклонение. Для расчетов используем сначала общую формулу для Е(г) и о, а потом формулу для биномиального распределения.
Таблица 2.7. Вероятность поломки г станков ■ день
| Число сломавшихся за день станков г | Вероятность поломки Р(г) | тР(т) | tPir) |
| 0 1 2 3 4 5 | 0,3277 0,4096 0,2048 0,0512 0,0064 0,0003 | 0 0,4096 0,4096 0,1536 0,0256 0,0015 | 0 0,4096 0,8192 0,4608 0,1024 0,0075 |
| Всего | 1,0000 | 0,9999 | 1,7995 |
Примечание. Значения вероятностей округлены до четырех знаков после запятой, что приводит к небольшим погрешностям, а именно: итоговые значения должны быть равны 1,0000 и 1,8000 соответственно.
Гл. 2. Вероятностные распределения 49
По общей формуле ожидаемое количество поломок в день:
Е(г) = £гР(г), Е(г)«1,0,
по формуле биномиального распределения:
Е(г)«пр = 5х0,2 = 1,0,
т.е. ожидаемое количество поломок — один станок в день. Стандартное отклонение по общей формуле:
a = VXr2P(D-(SrP(r))2, отсюда
о = Vl,8- 1,02 - 0,8944
(до четырех знаков после запятой).
По формуле биномиального распределения:
о ■ Vnpq - V5 х 0,2 х 0,8 = 0,8944
(до четырех знаков после запятой), дисперсия:
o2 = npq = 5x 0,2 х 0,8 = 0,8.
Иногда нужно знать долю "успехов" в общем количестве опытов. Исходя из формулы математического ожидания, получим:
Е (доля " успехов" в п опытах) = —° = р.
Формула стандартного отклонения доли "успехов" имеет следующий вид:
а (доля "успехов") = —^-^- = Л/*—*.
J п п
Отсюда в примере 2.5, предполагаемая доля поломок станков в день: а стандартное отклонение: (до трех знаков после запятой).
SO 4. 1. Принятие решений в условиях недостатка информации
Дисперсия доли поломок в день:
0^М|М = 0,032.
О Пример 2.6. Компания производит пружины, 10% из которых оказываются бракованными. Сто пружин отобраны для контроля качества. Требуется найти ожидаемое количество бракованных пружин и стандартное отклонение бракованных в отобранных образцах, а также вероятность того, что в выборке по меньшей мере 15 бракованных пружин.
Решение.
Используем биномиальное распределение, так как:
1. Имеются 100 идентичных опытов.
2. Опыты независимы, так как пружины отбираются наугад.
3. Для каждого опыта возможны два исхода: пружина может быть с
дефектом и без оного.
4. Вероятность, что любая из пружин имеет дефект, равна 0,1. Поскольку
выборка делается из массовой партии, доля бракованных пружин сильно
измениться не может.
Ожидаемое количество пружин с дефектом:
Е (г) = пр = 100 х 0,1= 10 пружин в выборке. Стандартное отклонение брака: а = Vnpq:
о ш V100 х 0,1 х 0,9 = 3 пружины в выборке. Вероятность того, что имеется г бракованных образцов в выборке:
Р (г бракованных образцов из 100 едениц) = ,00СГ (0,1)г (0,9)100 " '; г = 0, 1, 2,.... 100.
Р(г «► 15) = Р(15) + Р(16) +... + Р(100) = 1 - Р(0) + Р(1) +... + Р<14).
Расчеты в данном случае займут много времени и места, поэтому методы приблизительного вычисления вероятности будут рассмотрены в § 2.5 и 2.8. '
