Нулевая гипотеза предполагает, что выборочные средние согласуются с двумя выборками, взятыми из нормальных генеральных совокупностей с одинаковой генеральной средней

Н₀: ц, - ц₂, Н,: ц, #ц₂ ■

Альтернативная гипотеза состоит в том, что две серии взяты не из одной и той же генеральной совокупности. Следовательно, должна быть проведена двусторонняя проверка.

Поскольку генеральные дисперсии неизвестны, мы должны использовать F-критерий для предположения, что две генеральных дисперсии равны друг другу. Для испытания с помощью F-критерия формулируем гипотезы:

Н₀: Oj " <»2.

Н,: в\ # о^,

Будем испытывать нулевую гипотезу на 5%-ном уровне значимости, используя испытание с двумя границами. Это означает, что мы используем строки 0,025 F-таблицы в Приложении 2 с 9 и 9 степенями свободы.

^F0,0S/2,9,9 * ⁴'⁰²⁶ • a?--^-sb-£x0,70² = 0,544,

oj = -^-s* = -£x0,74²- 0,608. ' n₂ - 1 ' 9

Поскольку с?2 является большей, то F-статнстика равна:

F = 0,608/0,544 = 1,12, Поскольку

1,12 <F_00S/29i9 = 4,026,

Гл. 6. Статистический вывод 2: испытание гипотез 179

различия между дисперсиями не существенны на 5%-ном уровне. Наблюдаемые значения согласуются с нулевой гипотезой. Мы можем предположить, что две генеральных дисперсии равны друг другу, и использовать t-критерий для проверки гипотезы по выборочным средним.

Теперь мы продолжим испытание гипотез на двух выборочных средних на 5%-ном уровне значимости, используя t-критерий с двумя границами с числом степеней свободы: 10 + 10 - 2 = 18.

Из таблицы в Приложении 2 находим, что tq 05/2 18 ⁼ 2,10.

Поскольку мы предположили, что

^а1^а"°2 •

<?F- л/ <^П1 ^Sf ⁺ ^П2 *2> (1 1 \ л /д0х0,70³-И0х0,74У 1 П _

"."Ь" * (п,+п₂-2) |п, n₂J° * 10 + 10-2 (l0⁺10j~

■= V0.H53 •» 0,3395. Проверочной статистикой является:

*1 - *2 68,2 - 67,0
^tm* 0.3395 -³'⁵³-

Поскольку

3,53 > toos/2,18 ⁼ 2,10,

результат существенен на 5%-ном уровне. Очевидно, что наблюдения не согласуются с нулевой гипотезой. Мы отклоняем Н₀ и принимаем Н, как верную: две серии имеют разное содержание химического вещества X.

□ Пример 6.13. Компания "JBO", производящая батарейки, утверждает, что в среднем период использования их батареек более длителен, чем батареек их конкурента — компании "Sparky". Ассоциация потребителей взяла случайную выборку П| = 35 батареек, производства компании "JBO" и испытала их на разрушение. Средний срок службы оказался равным 198 ч (xi) со стандартным отклонением 8,7 часа (st). Такая же проверка была сделана по продукции компании "Sparky" (n₂ = 30 батареек). Средний срок службы оказался равен 193,8 часа (хг) со стандартным отклонением 5,8 часа (si). Подтверждают ли эти результаты заявление "JBO"?

Нулевая гипотеза состоит в том, что две выборки взяты из нормальной совокупности с общей средней.

^но^: 1*1 = 1*2 •

Н,: ц, > ц₂ •

180 Ч. 2. Анализ данных как составная часть принятия решений

Альтернативная гипотеза состоит в том, что батарейки "JBO" служат дольше, поэтому будем проводить одностороннюю проверку. Поскольку генеральные дисперсии неизвестны, нам придется использовать F-критерий, чтобы определить можно ли допустить что две генеральные дисперсии равны, прежде чем проводить проверку гипотезы по средним.

Н₀: &\ - «2 •

Произведем проверку нулевой гипотезы на 5%-ном уровне значимости, используя двустороннюю проверку:

а? = -^5?-^*8,7²-77,92, ' п, - 1 ' 34

%_mJb-t»_xS,#_m 34,80.
* п₂ - 1 29

Поскольку Oj является большей, то F-статистика равна:

F -= 77,92/43,80 = 2,24.

Из F-таблиц (Приложение 2) для уровня значимости 0,025 с одной границей при 34 степенях свободы по столбцу и 29 степенях свободы по строке таблицы

^F0,025,34,29 лежит между F₀,025.30,29^е2'⁰⁹² ^и ^F0,025,50,29 ⁼ ¹-⁹⁸⁷-

Наша F-статистика больше этих двух значении, поэтому результат существенен на 5%-ном уровне и не согласуется с нулевой гипотезой. Мы не можем предположить, что генеральные дисперсии равны друг другу, следовательно и мы должны предположить:

d\*a\.

Испытание гипотезы с помощью t-статистики не подходит. Поскольку размеры выборки большие (п₍ и nj) £ 30, мы можем использовать нормальное распределение как аппроксимацию к правильной статистике для двух выборочных средних. Будем испытывать на 5%-ном уровне, используя нормальную проверку с одной границей. Из таблицы (Приложение 2) находим, что zq.os ⁼ 1.645. Поскольку мы предположили

2 2

то

Гл. 6. Статистический вывод 2: испытание гипотез 181

Проверочная статистика равна:

fr-i^-O 198 -193,8,„
SE; = ^1,№*

Нескольку

2,28 > гаи = 1,645.

Результат существенен на 5%-ном уровне. Очевидно, что факты не согласуются с нулевой гипотезой. Мы отклоняем Но на этом уровне. Следовательно, предполагаем, что альтернативная гипотеза Hj верна. Средний срок службы батареек "JBO" больше, чем батареек "Sparky". Таким образом, наше заключение подтвердило правдивость рекламы компании "JBO".

□ Пример 6.14. Компания "Electra pic" производит электрические компоненты. Выполнение работ по их сборке с максимальной производительностью требует обучения новых работников в течение месяца. Поскольку обучающая программа стоит немалых средств, руководство компании стремится сократить время, отведенное на обучение. Руководитель программы изобрел новый метод обучения. Руководство фирмы заинтересовано в проведении специального исследования для того, чтобы определить, сокращает ли новый метод период обучения.

Две группы по 10 новых работников щ и П2 обучались три недели. Одна группа использовала новый метод, другая — стандартную процедуру. Цо окончании трехнедельного периода, каждый новый работник проводил сборку элемента и записывалось время сборки.

Таблица 6.2. Время, затраченное на сборку единицы продукции, мни.