Сравнительная характеристика КИХ и БИХ фильтров(білет №11)

Нерекурсивные КИХ-фильтры имеет конечную "память". Те после снятия входного сигнала переходный процесс завершится за конечное число периодов дискретизации, в отличие от БИХ-фильтров, которым свойственно

асимптотическое затухание вследствие зависимости от всех предыдущих выходных значений.

Важной особенностью КИХ-фильтров является то, что они могут иметь строго линейную фазовую характеристику. У подобных фильтров импульсная характеристика обладает свойством симметрии h[k]=h[n-1-k], поэтому групповая задержка для сигналов любой части спектра постоянна и составляет (n-1)/2 отсчетов, где n - порядок фильтра.

Для реализации требуемой ЧХ на основе БИХ-фильтров обычно требуется меньшее число элементов (порядок ПФ может быть в 5..10 раз меньше), однако в сравнении с КИХ-фильтрами фазовые сдвиги достигают больших значений, а ЛФЧХ в целом нелинейна.

Поскольку существует множество различных методов расчета КИХ- и БИХ-фильтров, практически невозможно, сопоставив те или иные характеристики получаемых фильтров, объективно сравнить оба типа фильтров. Если же ограничиться рассмотрением только оптимальных (в минимаксном смысле) КИХ-фильтров нижних частот и эллиптических БИХ-фильтров с аналогичными частотными характеристиками, то можно сделать некоторые количественные сравнения па основе числа умножений, приходящихся на каждый входной отсчет при стандартной реализации каждого из сравнимых фильтров (т. е. при использовании прямой формы для КИХ-фильтра и каскадной формы для БИХ-фильтра). При реализации прямой формы КИХ-фильтра с импульсной характеристикой длины N (N нечетное) и линейной фазовой характеристикой на каждый входной отсчет приходится [(N + 1)/2] умножений, тогда как при реализации каскадной формы эллиптического фильтра n-го порядка (все нули которого расположены на единичной окружности) на каждый входной отсчет приходится [(3n + 3)/2] умножений. (Здесь число в квадратных скобках [•] обозначает целую часть этого числа.) Таким образом, два типа фильтров с эквивалентными характеристиками (т. е. удовлетворяющие одинаковым требованиям к уровню пульсаций в полосе пропускания и в полосе непропускания , а также к значениям граничных частот Fp и Fs) могут быть сопоставлены на основе эффективности их построения, учитывающей, для какого из фильтров на каждый из входных отсчетов приходится меньшее число умножений. Оба типа фильтров будут эквивалентны, если выполняется следующее условие: (4.189) Или (4.190) На фиг. 4.48 приведены две группы кривых зависимости отношения N/n от n при различных для двух значений Fр и Фиг 4.48, а соответствует случаю Fp — 0,15 и = 0,1 ( = 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001); на фиг. 4.48, б представлены кривые при Fp = 0,35 и = 0,00001 ( принимает те же значения). Там же построены линии N/n = 3, соответствующие постоянной составляющей в правой части формулы эквивалентности фильтров (4.190). Как видно из фиг. 4.48, а, при некоторых значениях Fp, и величина отношения N/n находится ниже уровня эквивалентности; в этих случаях КИХ фильтр оказывается эффективнее эллиптического фильтра. Однако вообще эллиптический фильтр намного эффективнее оптимального КИХ-фильтра, причем в случае, когда эллиптический фильтр имеет высокий порядок, отношение N/n часто может достигать сотен или даже тысяч. Установлено, что КИХ-фильтр наиболее целесообразно использовать, если величина большая, малая, а переходная полоса достаточно широкая (т. е. переходное отношение мало). Необходимо также учитывать следующее: 1) При Fp ≥ 0,3 отношение N/n всегда превышает (3 + 1/n) при любых значениях и n. 2) При n≥ 7 отношение N/n всегда превышает (3 +1/n) при любых значениях и Fp. 3) Чем меньше Fp, тем больше диапазон значений и Fp при которых N/n меньше, чем (3+1/n). На фиг. 4.49, а показана зависимость теоретического значения порядка эллиптического фильтра n (поэтому n не обязательно равен целому числу), обеспечивающего заданные граничные частоты Fp и Fs, при = 0,1 и = 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001, от величины Fp для набора оптимальных КИХ-филътров с N = 21. Аналогичные кривые, но для N = 41 приведены на фиг. 4.49, б. Теоретическое значение порядка, при котором оба фильтра эквивалентны, составляет n = 6,3 для фиг. 4.49, а и n = 13 для фиг. 4.49, б. Таким образом, во всех этих случаях, как и предполагалось в предыдущем разделе, эллиптический фильтр оказывается эффективнее эквивалентного ему КИХ-фильтра. Итак, в тех случаях, когда требуется обеспечить заданную амплитудную характеристику, эллиптические фильтры вообще оказываются эффективнее оптимальных КИХ-фильтров. Однако КИХ-фильтры дополнительно имеют весьма полезное свойство — их фазовая характеристика строго линейна, так что характеристика групповой задержки таких фильтров не искажается. В то же время характеристика групповой задержки эллиптического фильтра имеет, как правило, весьма существенные искажения (особенно вблизи края полосы пропускания). В связи с этим возникает вопрос, имеющий теоретическое и практическое значение: в случаях, когда характеристика групповой задержки должпа быть постоянной, более желательно использовать эллиптический фильтр с выравниванием групповой задержки или же эквивалентный ему оптимальный КИХ-фильтр (с постоянной групповой задержкой)? Ниже этот вопрос будет рассмотрен с различных точек зрения. Следует отметить, что оба сопоставляемых подхода не являются единственно возможными при построении цифрового фильтра, удовлетворяющего требованиям к амплитудной характеристике и характеристике групповой задержки. Например, используя новые методы оптимизации, можно рассчитать фильтр с неодинаковым числом нулей и полюсов. Для этих случаев проводимое ниже сравнение КИХ-фильтров и БИХ-фильтров будет непригодным. Фиг. 4.48 Сравнение КИХ и БИХ фильтров Фиг. 4.49 Сравнение КИХ и БИХ фильтров нижних частот нижних частот