2015-06-24
793
- Свойства преобразования Фурье.
Хотя формула, задающая преобразование Фурье, имеет ясный смысл только для функций класса 
, преобразование Фурье может быть определено и для более широкого класса функций, и даже обобщённых функций. Это возможно благодаря ряду свойств преобразования Фурье:
- Преобразование Фурье является линейным оператором:
- Справедливо равенство Парсеваля: если
, то преобразование Фурье сохраняет L 2-норму:
- Это свойство позволяет по непрерывности распространить определение преобразования Фурье на всё пространство
. Равенство Парсеваля будет при этом справедливо для всех 
.
Формула обращения:
справедлива, если интеграл в правой части имеет смысл. В частности, это верно, если функция f является достаточно гладкой. Если , то формула также верна, поскольку равенство Парсеваля позволяет придать интегралу в правой части смысл с помощью предельного перехода.
Эта формула объясняет физический смысл преобразования Фурье: правая часть — (бесконечная) сумма гармонических колебаний ei ω x с частотами ω, амплитудами 
и фазовыми сдвигами arg f (ω) соответственно.
|
|
|
- Теорема о свертке: если
, тогда
, где
Эта формула может быть распространена и на случай обобщённых функций.
- Преобразование Фурье и дифференцирование. Если
, то
Из этой формулы легко выводится формула для n -й производной:
Формулы верны и в случае обобщённых функций.
- Преобразование Фурье и сдвиг.
Эта и предыдущая формула являются частными случаями теоремы о свёртке, так как сдвиг по аргументу — это свёртка со сдвинутой дельта-функций δ(x − x 0), а дифференцирование — свёртка с производной дельта-функции.
- Преобразование Фурье и растяжение.
- Преобразование Фурье обобщённых функций. Преобразование Фурье можно определить для широкого класса обобщённых функций. Определим вначале пространство гладких быстро убывающих функций (пространство Шварца):
Ключевым свойством этого пространства является то, что это инвариантное подпространство по отношению к преобразованию Фурье.
Теперь определим его двойственное пространство 
. Это некоторое подпространство в пространстве всех обобщённых функций — так называемые обобщённые функции медленного роста. Теперь для функции 
её преобразованием Фурье называется обобщённая функция 
, действующая на основные функции по правилу
Например, вычислим преобразование Фурье дельта-функции:
Таким образом, преобразованием Фурье дельта-функции является константа 
.
