Билет № 25. 1. Z-преобразование и его свойства

1. Z- преобразование и его свойства.

Удобным способом анализа дискретных последовательностей является z-преобразования. Смысл его заключается в том, что последовальности чисел ставится в соответствие функция комплексной переменной z, определяемая следующим образом: . Разумеется, функция определена только для тех значений z, при которых ряд сходится.

Z-преобразования играет для дискретных сигналов и систем такую же роль, как преобразование Лапласа – для аналоговых.

Свойства z-преобразования:

1. Линейность. Если последовательности и имеют z-образы и , то z-образ их линейной комбинации будет .

2. Задержки или смещение. Если z-образ последовательности равен , то z-образ последовательности с задержкой m элементов будет . Это свойство широко используется для превращения передаточной функции z систем дискретного времени в разностные уравнения во временной области, и наоборот:

3. Свертка. Задаем выход системы: . Выраженные через z-образы вход и выход связаны: , где , - соответственно z-образы последовательностей , и . При заданных выход можно найти с помощью обратного z-преобразования .

4. Дифференцирование. Если - z-образ последовательности , то z-образ можно найти, продифференцировав : , . Полезно использовать, когда содержит полюсы высокого порядка.

5. Взаимосвязь с преобразованием Лапласа. Системы или сигналы непрерывного времени описываются с помощью преобразования Лапласа. Если , где - комплексная переменная Лапласа, которая задается как: , то . Следовательно и , - частота дискретизации.