Передаточной функцией называется отношение z-образов выходного и входного сигналов системы: . Выражение для передаточной характеристики цифрового фильтра:
где ; . Система называется устойчивой, если при нулевом входном сигнале выходной сигнал затухает при любых начальных условиях: при . Это требование равносильно требованию затухания импульсной характеристики: .
Импульсная характеристика системы в общем случае содержит слагаемые вида , где - полюсы функции передачи системы, - соответствующие им вычеты, - целые числа в диапазоне от нуля до значения, на единицу меньшего кратности полюса . Такие слагаемые при затухают, если вещественная часть полюса является отрицательной: .
Отсюда получаем общее условие: линейная система является устойчивой тогда и только тогда, когда полюсы ее функции передачи лежат в левой комплексной полуплоскости.