Погрешности интерполяционных формул

Ниже остановимся лишь на основных элементах методики оценки погрешности интерполяционных формул, постараясь сохранить ее логическую схему.

Пусть y=f(x), - интерполируемая функция, а P_n(x)- ее интерполяционный многочлен. Тогда погрешность R_n(x) интерполяции функции в точке х равна

R_n(x)=f(x) – P_n(x),

откуда

f(x)=P_n(x)+R_n(x) (2.8)

Добавим теперь точку x к заданным узловым точкам и рассмотрим интерполяционный многочлен P_n₊₁(z) в форме Ньютона, построенный уже по (n+2) точкам х₀, х₁…х_n_,x. Его значение в точке x равно:

P_n₊₁(x)=f(x)+(x-x₀)f(x₀, х₁)+...+(х-х₀)...(х-х_n)f(x₀,...х_n, х)

Но, по построению, , а первые слагаемых правой части представляют собой . Таким образом,

Сравнивая теперь это соотношение с (2.8),получаем

(2.9)

Это и есть одна из форм представления погрешности аппроксимации. Её недостатком является то обстоятельство, что для вычисления необходимо значение , которое неизвестно. В качестве выхода из такого положения остаётся взять лишь его приближённое значение, т.е. , однако в этом случае соотношение (2.9) становится уже приближённым.

Если же предположить, что функция достаточно гладкая и имеет непрерывные производные до -го порядка включительно, то из формулы

справедливость которой следует по индукции, по теореме о среднем вытекает соотношение

где Тогда (2.9) принимает вид

(2.10)

Недостатком этого соотношения является то, что неизвестно значение . Однако, если известен вид функции ,то полезной может оказаться оценка

В том случае, когда узловые точки равноотстоящие и , , то по индукции можно показать, что

(2.11)

Если к ним добавить точку не изменяющую характер расположения узлов, то формула остаётся справедливой и для разделённой разности следующего порядка. Т.е.