Интерполяционные формулы для равноотстоящих узлов

Рассмотрим формулу Ньютона (2.7) и предположим, что узлы являются равноотстоящими, а именно, , где . Сделаем в ней замену и учтя (2.11), получим

(2.13)

Это и есть многочлен Ньютона для равноотстоящих узлов, а погрешность интерполяции при его использовании оценивается выражением (2.12).

Отметим, что с увеличением порядка значение конечной разности убывает. Поэтому нередко требуемая точность вычисления значения функции достигается при меньшем количестве слагаемых, т.е. при меньшем числе использованных узловых точек. В связи с этим, в зависимости от расположения значения x среди массива значений x₀, x₁, … x_n на основе (2.7) формируют частные формулы, используемые для интерполяции в начале, конце и середине таблицы. Рассмотрим эти случаи.

Пусть значение x близко к x₀. Тогда выбирая для интерполяции узловые точки x₀, x₀+ h, x₀+m h получим

(2.14),

её погрешность, в соответствии с (2.12)

Пусть теперь значение x близко к x_n, т.е. к концу таблицы. Тогда выбирая для интерполяции узлы x_n, x_n – h,…, x_n –mh и сделав замену из (2.7) получаем

(2.15),

погрешность интерполяции

Если значение x близко к некоторому x_k, расположенному в средней части таблицы, то для интерполяции обычно используют точки x_k, x_k + h, x_k –h, …, x_k+mh, x_k-mh Соответствующий интерполяционный многочлен также получается из (2.7) и после замены принимаем

(2.16),

его погрешность оценивается выражением.

Интерполяционному многочлену (2.16) можно придать более симметричный вид. Так, разбивая нечётные слагаемые, начиная с третьего, на два, и группируя с чётными, получим