Понятие о математической структуре

Пусть имеются некоторые множества , , и на этих множествах определены некоторые отношения , , , , которые можно задать или как некоторые подмножества декартовых произведений множеств , , , или указав свойства , , , (аксиомы), которыми они обладают.

В дальнейшем будем всегда задавать отношения , , , аксиомами.

Может случиться, что указанными свойствами , , , обладает и другая система отношений , , , . Например, на множестве действительных чисел алгебраические операции — сложение и — умножение обладают одним и тем же свойством коммутативности. Обозначим через множество всех систем отношений = { , , , }, = { , , , }, для которых выполняются аксиомы , , , .

Определение [1.1]. Говорят, что на множествах , , задана математическая структура рода , если задан элемент непустого множества с помощью аксиом , , , ; , , — база структуры рода .

Пример 1 (структура группы).

База — одно множество ;

— алгебраическая операция, заданная на и обладающая свойствами:

— замкнутость;

— ассоциативность;

— существование нейтрального элемента;

— существование симметричного элемента.

Отношение определяет на множестве структуру рода группы и тогда говорят короче: — группа.

Пример 2 (структура векторного пространства).

База — два множества: и поле ;

Система отношений — ={ , }где

(сложение): , ;

(умножение): , ;

, , , — известные свойства, которыми обладают отношения и .

называют векторным пространством над полем .

Во втором примере множество играет основную роль, а множество является вспомогательным.

Совокупность всех утверждений, которые могут быть получены из аксиом математической структуры путем логического вывода, составляет теорию этой математической структуры. Таким образом, для построения математической теории необходимо:

1) указать некоторые основные множества (их элементы называют основными) и вспомогательные множества;

2) указать систему аксиом, которые задают отношения, называемые основными.

Этот метод построения математической теории называется аксиоматическим методом.