Черный ящик», структурные и функциональные модели

“Черный ящик” (ЧЯ)– объект, у которого исследователю известны вход и выход, а внутреннее строение неизвестно. Название образно подчеркивает полное отсутствие сведений о внутреннем содержимом “ящика”.

Укажем основные этапы построения модели в виде ЧЯ

1. Первым действием, которое необходимо выполнить при составлении модели любой системы – отделение объекта исследования от окружающей среды. Простейшим наглядным образом реализации данной операции может служить представление системы в виде непрозрачного “ящика”, выделенного из окружающей среды. Уже эта, максимально простая, модель по-своему отражает два важных свойства системы: целостность и обособленность от среды.

2. Любая система не совсем изолирована от окружающей среды, а поддерживает с ней определенные связи, посредством которых система и среда как-то воздействуют друг на друга. Поэтому следующим (вторым) этапом моделирования может быть изображение этих связей в виде стрелок, направленных из системы в среду – выходы, и из среды к системе – входы и содержательного словесного описания входов и выходов.

При таком уровне представления системы мы имеем дело с её декларативной моделью, т.к. входы и выходы определены на шкале наименований. Во многих случаях достаточно такой модели, однако часто бывает необходимым количественно описать некоторые или все входы и выходы системы.

3. Пытаясь максимально формализовать модель ЧЯ, мы приходим к заданию двух множеств Х и Y входных и выходных переменных (третий этап), но никаких других отношений между этими множествами фиксировать не будем (иначе это уже будет не “черный”, а “прозрачный” ящик). Например, для модели телевизора в качестве множества X можно указать допустимые диапазоны напряжения в сети и радиоволн телетрансляции.

4. Четвёртым этапом развития модели является описание изменений, происходящих в системе, например, с течением времени, т.е. описание её динамики. На уровне ЧЯ эта модель должна отображать соответствие во-первых, между элементами множества Х возможных значений входных параметров и элементами упорядоченного множества Т моментов времени в виде отображения Т ® Х, а во-вторых – между элементами множества Y возможных значений выходных параметров и моментами времени в виде отображения Т ® Y. Таким образом, имеем модель в виде совокупности двух процессов { x (t), y (t)}.

Главное достоинство модели “черный ящик” – её простота, поскольку описание и исследование входов и выходов обычно намного проще, чем внутреннего строения объекта.

Однако необходимо подчеркнуть, что эта простота обманчива. Весьма часто перечисление входов и выходов реальной системы представляет собой сложную задачу. Например, пытаясь перечислить все более или менее важные входы и выходы системы “автомобиль” мы очень быстро поймем это, поскольку мощность множеств Х и Y как-то легко перевалит за два десятка, а список параметров все еще не полон. Главной причиной такой множественности входов и выходов является неограниченность числа способов, которыми любой объект взаимодействует со средой.

Структурная модель используется, когда необходимо описать строения сложного объекта, состоящего из нескольких частей. В простейшем случае эта модель включает в себя перечень элементов, входящих в объект и тогда используется термин “модель состава”. Примеры моделей состава для некоторых систем приведены в таблице 5.3.

Однако очевидно, что есть вопросы, решить которые с помощью модели состава нельзя. Чтобы получить велосипед, недостаточно иметь ящик со всеми его деталями (элементным составом). Необходимо еще правильно соединить все детали между собой, или установить между элементами определенные связи – отношения. Такая, более сложная модель, кроме состава показывает характер связей между частями объекта. Обычно именно такая модель и называется структурной.

Таким образом, структурная модель объекта является ответом на вопрос “из чего состоит объект и как связаны эти части?”

Таблица 5.3
Примеры моделей состава
№ п/п	Система	Подсистемы	Элементы
	Система телевидения	Передающая подсистема	Центральная телестудия
Антенно-передающий центр
Канал связи	Среда распространения радиоволн
Спутники-ретрансляторы
Приемная подсистема	Местные телецентры
Телевизоры потребителей
	Семья	Члены семьи	Муж
Жена
Предки
Потомки
Другие родственники
Имущество семьи	Общее жилье и хозяйство
Личная собственность членов семьи

Пример 5.4. Рассмотрим объект “часы вообще”, структурная модель которого приведена на рис 5.1. Считаем, что в его состав входят три элемента:

- датчик времени (процесс, течение которого изображает ход времени – раскручивание пружины, качание маятника, течение струйки песка и т.п.);

- индикатор времени (устройство, преобразующее текущее состояние датчика в сигнал времени для пользователя – две стрелки, цифровой дисплей на жидких кристаллах, уровень песка в сосуде и пр.);

- эталон времени (механизм, определяющий истинное время – сигнал “точного времени” по радио, атомные часы службы точного времени, положение звезд на небосводе и т.д.).

На рис. 5.1 обозначены цифрами 1– 3 связи межу элементами системы. Кроме того, на нём обозначены входы: 4 – поступление энергии извне, 5 – регулировка индикатора и выход: 6 – показания часов.

Для представления структурных моделей пришлось абстрагироваться от содержательной стороны структур, оставив только общее для каждой системы. В результате получилась конструкция, в которой обозначается только наличие элементов и связей между ними. Такая схема называется графом и является наиболее наглядной и компактной формой представления структурной модели.

Граф – конструкция, включающая в себя некоторое множество V (обычно конечное) и определенное на нем отношение E. Геометрическим образом графа является фигура, состоящая из точек (вершин), соединенных линиями (ребрами). Точки соответствуют элементам объекта, ребра – имеющимся связям. Направленные связи снабжаются стрелками и называются ориентированными ребрами или дугами.

Помимо графов используются другие изобразительные средства представления структурной модели, например, матрицы или таблицы.

Рис. 5.2. Граф трофической структуры системы А

Пример 5.5. На рис. 5.2 дана трофическая структура (структура питания) некоторой экосистемы. Трофическую структуру типа "хищники и жертвы" образует отношение R = { x поедает y }, определённое на множестве пар элементов множества А. Здесь экосистема состоит из следующих обитателей A = {1 – человек, 2 – тигр, 3 – коршун, 4 – щука, 5 – змея, 6 – кабан, 7 – баран, 8 – газель, 9 – пшеница, 10 – клевер, 11 – полевка, 12 – желудь, 13 – карась, 14 – водоросль}.

Функциональная модель. Следующий шаг в исследовании объектов произвольной природы после определения его состава и связей состоит в том, чтобы понять и описать, как объект “работает”, что происходит в самом объекте и окружающей его среде в ходе реализации поставленной цели. Соответствующие модели должны отражать поведение объекта при меняющихся условиях (в частности – с течением времени), описывать последовательность каких-то этапов, операций, действий, причинно-следственные отношения, т. е. описывать процесс функционирования объекта. Такая модель называется функциональной. Она имеет вид математических соотношений, отражающих те законы природы и закономерности, согласно которым функционирует объект.

Опишем основные этапы построения функциональной модели.

1. Состояние объекта – это множество его существенных свойств в данный момент времени. Функционирование системы тесным образом связано с её состояниями. Поэтому первым этапом синтеза функциональной модели является выделение множества различных состояний моделируемого объекта, конечного или бесконечного.

2. Далее необходимо выявить связи между различными состояниями системы и определить степени их взаимного влияния. Кроме того, надо отметить степень влияния входных воздействий. Вначале эти связи следует определить хотя бы качественно, т.е. на уровне отношений между соответствующими множествами допустимых значений.

3. В результате экспериментов или теоретических выкладок эти связи должны приобрести вид конкретных математических соотношений в виде уравнений, алгоритмов или иных зависимостей. Этот этап принято называть параметризацией.

4. В своем окончательном виде функциональная модель должна отражать динамку объекта, т.е. отражать процесс изменения состояний системы с течением времени.

Внешне функциональная модель обычно представляет собой систему математических выражений (формул), например, в виде дифференциальных и/или алгебраических уравнений. Но иногда используются модели иной структуры, например, графические – сетевые графики (для представления временной последовательности выполняемых действий), сети Петри (диаграммы причинно-следственных связей), блок-схемы (последовательность шагов реализации инструкций, алгоритма) и т.п. Выбор того или иного типа модели определяется типом протекающих процессов и целью моделирования.

5.5. Классификация по этапам жизненного цикла модели

Понятие жизненного цикла является удобной концепцией описания развития любой системы от её рождения до гибели. В ходе решения поставленной задачи (реализации цели моделирования) математическая модель претерпевает определенные изменения, поэтому понятие жизненного цикла подходит и для описания этих фаз (см. рис. 4.1).

1. Выработка концепции или построение концептуальной модели. Концептуальная модель – сформулированный в терминах прикладных дисциплин перечень вопросов, интересующих исследователя, а также совокупность гипотез и допущений относительно свойств и поведения объекта моделирования, его взаимодействии с окружающей средой. Эти гипотезы должны быть достаточно правдоподобны в том смысле, что для их обоснования могут быть приведены какие-то теоретические доводы или результаты экспериментов из набора начальных знаний об объекте.

На основании принятых гипотез определяется перечень и характер параметров, описывающих объект, а также перечень законов, согласно которым происходит изменение и взаимосвязь этих параметров.

Пример 5.6. Имеем словесную постановку задачи.

Разработать математическую модель, позволяющую описать полёт баскетбольного мяча, брошенного в корзину. Модель должна позволять вычислять положение мяча в любой момент времени при различных начальных условиях.

Примем следующие допущения:

- объектом моделирования считается баскетбольный мяч массы m радиуса R;

- мяч считать материальной точкой заданной массы m, положение которой совпадает с центром масс мяча;

- движение мяча описывается в соответствии с законами классической механики;

- движение происходит в поле сил тяжести с постоянным ускорением свободного падения;

- движение происходит в одной плоскости, перпендикулярной поверхности Земли и проходящей через точку броска и центр корзины;

- пренебрегаем сопротивлением воздуха и возмущениями, вызванными собственным вращением мяча вокруг центра масс.

Рассмотрим основные доводы в пользу принятых гипотез.

1) Первая из перечисленных гипотез особенно важна, т.к. она выделяет объект моделирования. Как вариант в качестве объекта можно было считать систему «Игрок – мяч – кольцо». Требуемая для описания подобной системы модель будет уже намного сложнее, т.к. игрок представляет собой сложную биомеханическую систему и его моделирование – далеко не тривиальная задача. Выбор в качестве объекта только мяча вытекает из самой постановки задачи. Влияние игрока можно учесть через начальные параметры броска

2) Гипотеза о том, что мяч можно считать материальной точкой, широко применяется для исследования тел в механике. В данном случае она оправдана по следующим причинам:

- мяч является симметричным телом

- его радиус мал по сравнению с характерным расстоянием перемещения.

3) Применимость законов классической механики обусловлена малой скоростью движения по сравнению со скоростью света.

4) Гипотеза о постоянстве ускорения обоснована малым перемещением мяча и небольшой высотой полёта. Если бы эти условия не соблюдались, пришлось бы учитывать изменение ускорения в зависимости от широты места и высоты полёта.

5) При выдвижении гипотезы о плоском движении мяча мы исходили из того, что для человека «наведение на цель» в горизонтальной плоскости намного проще, чем в вертикальной. Поэтому можно считать, что направление на центр корзины при броске выдержано точно, т.е. плоскость движения мяча известна, и нас интересует более сложная процедура расчёта расстояния, на котором мяч опустится до уровня кольца.

6) Гипотеза об отсутствии сопротивления воздуха наименее обоснована. При движении тел в жидкости и газе сопротивление усиливается с ростом скорости движения. Учитывая невысокие скорости движения мяча, его правильную обтекаемую форму и малые дальности бросков, данная гипотеза может быть принята в качестве первого приближения (дальше можно скорректировать).

В соответствии с изложенными гипотезами в качестве параметров движения мяча можно использовать координаты (x, y) и проекции скорости (v_x, v_y) центра масс мяча.

2. Переложение на язык математических соотношений цели моделирования, которая обычно задается в словесном (вербальном, неформализованном) виде и запаса исходных знаний об объекте. В результате такого действия получается модель описания – формализованная запись содержания поставленной задачи в виде совокупности математических соотношений, которые связывают между собой исходные данные и результаты счета.

Пример 5.7. Рассмотрим следующую “школьную” задачу. Лошадь и мул несли по несколько мешков с мукой. Лошадь жаловалась на тяжёлую поклажу. «Что ты жалуешься? – отвечал ей мул (см. далее таблица 5.4).

Таблица 5.4.
Исходные знания	Ведь если я возьму у тебя один мешок, моя ноша станет вдвое тяжелее твоей. А вот если бы ты сняла с моей спины один мешок, твоя поклажа стала бы одинакова с моей.
Цель моделирования	Узнать, сколько же мешков несла лошадь, и сколько нёс мул?

Записав условия задачи в формализованном виде, мы получим математическую модель описания. Обозначим Х и Y – количество мешков на спине лошади и мула, соответственно. Чтобы яснее можно было понять связь между словесным и формализованным описанием, представим процесс формализации в виде таблицы 5.5.

Таблица 5.5.
Словесное описание	Формализованное описание
Поклажа лошади (мешки)	X шт.
Поклажа мула	Y шт.
Если я возьму у тебя один мешок,	X – 1
моя ноша	Y + 1
станет вдвое тяжелее твоей.	Y + 1 = 2 (X – 1)
Если бы ты сняла с моей спины один мешок,	Y – 1
твоя поклажа	X + 1
стала бы одинакова с моей	Y – 1 = X + 1

В результате получаем модель описания в виде системы двух уравнений:

. (5.2)

3. Далее строится модель решения – набор математических выражений, указывающих способ получения решения задачи. Важным этапом получения модели решения является составление вычислительной задачи – некоторой стандартной математической задачи, решение которой не требует специальных преобразований, а сводится к набору вычислений. Так, после преобразования системы (5.2) к стандартному виду получим систему уравнений

, (5.3)

которая является вычислительной задачей – решение системы линейных алгебраических уравнений. Запишем способ решения этой системы, например, по формулам правила Крамера:

; . (5.4)

Это и будет моделью решения.

4. Построение алгоритмической модели – запись решения в виде алгоритма. Ее отличие от модели решения состоит в том, что последняя не обязана обладать всеми свойствами алгоритма: конечность, определённость, результативность, массовость, эффективность. Чаще всего модель решения не обладает свойством конечности.

Для задачи о муле и лошади построим по модели (5.4) следующий алгоритм.

Шаг 1. Вычислим определитель матрицы системы D = 2×(1) – (–1)×(–1) = 1. Он не равен 0, значит, система имеет решение.

Шаг 2. Вычислим определители для каждого неизвестного: D _X = 3 + 2 = 5; D _Y = 4 + 3 = 7.

Шаг 3. Вычисляем каждое неизвестное: ; .

Ответ: Мул нёс 7 мешков, а лошадь – 5.

5. Построение программной модели – запись алгоритма в виде программы.

Для решения системы (5.3) можно написать программу, например на языке Pascal. Запишем систему из двух уравнений в общем виде:

Программа, реализующая описанный выше алгоритм, будет иметь вид:

var x,y,A11,A12,A21,A22,b1,b2,Dx,Dy,D: real;

begin readln(A11,A12,b1); {Коэфф-ты 1-го уравнения}

readln(A21,A22,b2); {Коэфф-ты 2-го уравнения}

D:=A11*A22-A21*A12;

Dx:=b1*A22-b2*A12;

Dy:=A11*b2-A21*b1;

x:=Dx/D; y:=Dy/D;

writeln(x:10:2,y:10:2); {Вывод результатов}

readln;

End.

Данная технология составления программной модели применялась в 70-е годы, когда для каждой более или менее типовой задачи писали специальную программу. В наши дни в качестве инструментария ИТ используют мощные вычислительные системы, такие, как например, MathCAD, Excel и др.