2015-06-30
1042
Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:
.
Приведем доказательство теоремы с использованием «схемы урн». Рассмотрим две урны, в каждой из которых n1 и n2 шаров соответственно. В 1-ой урне m1 красных шаров, остальные - черные, во 2-ой урне m2 красных шаров, остальные – черные. Из каждой урны вынимается по одному шару. Какова вероятность того, что оба вынутых шара красные?
Событие А: вынимание красного шара из 1-ой урны, событие В: вынимание красного шара из 2-ой урны. Эти события независимы.
Всех возможных случаев одновременного вынимания по одному шару из каждой урны 
. Число случаев, благоприятствующих появлению красных шаров из обеих урн, будет 
. Вероятность совмещения событий:
.
Что и требовалось доказать.
Замечание. Равенство из теоремы справедливо для любых n независимых событий:
Замечание. С учетом теоремы об умножении вероятностей теорема о сложении вероятностей совместных событий записывается следующим образом:
,
если события А и В – совместны, но независимы.
Задача. В урне 5 красных, 8 белых и 11 синих шаров. Наудачу извлекают 1 шар. Какова вероятность того, что появится белый или синий шар?
.
Событие А называется зависимым от события В, если вероятность появления события А зависит от того, наступило событие В в данном испытании или нет.
Вероятность события А, найденную при условии, что наступило событие В (РВ(А)), будем называть условной вероятностью события А при условии В.
Например, в урне 3 белых и 2 черных шара. Наудачу вынимают один шар, затем еще один. Событие В: появление белого шара при первом вынимании; событие А: появление белого шара при втором вынимании. Тогда 
.
Теорема (об умножении вероятностей зависимых событий). Вероятность совмещения двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго, вычисленную в предположении, что первое событие наступило:
Приведем доказательство теоремы с использованием «схемы урн».
Всего в урне шаров n, где n1 – белые шары, n2 – черные шары. Пусть среди n1 белых шаров n1 * шаров с отметкой *, остальные – чисто белые. Из урны наудачу вынимается один шар. Какова вероятность того, что это шар белый*?
Событие В: появление белого шара; событие А: появление шара со *. Тогда 
- вероятность появления шара со * при условии, что появился белый шар. Вероятность появления белого шара со * есть 
. Очевидно, что 
. Но 
, т.е. 
Что и требовалось доказать.
Замечание. Часто формула из последней теоремы служит для определения условной вероятности:
(
)
Замечание. Применим формулу из теоремы об умножении вероятностей зависимых событий к выражению:
Левые части равны. Следовательно, правые также будут равны:
.
Задача. В коробке 6 одинаковых занумерованных кубиков. Наудачу по одному извлекают все кубики. Найти вероятность того, что номера извлеченных кубиков появляются в возрастающем порядке.
Задача. Вероятность изготовления годного изделия данным станком равно 0,9. Вероятность появления изделия первого сорта среди годных изделий равна 0,8. Определить вероятность изготовления изделий первого сорта данным станком.
Событие В: изготовление годного изделия; событие А: появление изделия первого сорта. 
(по условию), тогда
.
