Теорема (формула полной вероятности)

Пусть - образуют полную группу несовместных событий, т.е. . Если событие А может осуществляться только при условии совмещении с одним из событий , то

.

Задача. По цели произведено 3 последовательных выстрела. Вероятность попадания при первом выстреле р₁=0,3; вероятность попадания при втором выстреле р₂=0,6; вероятность попадания при третьем выстреле р₃=0,8. При одном попадании вероятность поражения цели λ₁=0,4; при двух попаданиях – λ₂=0,7; при трех попаданиях – λ₃=1,0. Определить вероятность поражения цели при трех выстрелах?

Решение.

Событие А: поражение цели при трех выстрелах. Рассмотрим полную группу несовместных событий:

В₁: было одно попадание при трех выстрелах;

В₂: было два попадание при трех выстрелах;

В₃: было три попадание при трех выстрелах;

В₄: не было ни одного попадания.

Определим вероятность каждого события:

.

Условные вероятности поражения цели при осуществлении каждого из этих событий:

.

Подставим все данные в формулу из теоремы:

.

Замечание. Если событие А не зависит от события В, то . Следовательно, .