Вероятность гипотез. Формула Байеса

Пусть - полная группа несовместных событий, - соответствующие вероятности. Событие А может наступить только вместе с каким-либо из событий , которые мы будем называть гипотезами. Тогда справедлива формула полной вероятности: .

Допустим, что событие А уже наступило. Это изменит вероятности гипотез . Требуется определить условные вероятности этих гипотез , в предположении, что событие А уже наступило.

Найдем

Заменим формулой полной вероятности события:

Аналогично определяется .

Окончательно получаем формулу Байеса или формулу из теоремы гипотез:

Задача. 30% приборов собирает специалист высокой квалификации и 70% - средней квалификации. Надежность работы прибора, собранного специалистом высокой квалификации – 0,9 и надежность работы прибора, собранного специалистом средней квалификации – 0,8. Взятый наудачу прибор оказался надежным. Определить вероятность того, что он собран специалистом высокой квалификации.

Событие А: безотказная работа прибора.

Для проверки прибора возможны гипотезы:

В₁: прибор собран специалистом высокой квалификации;

В₂: прибор собран специалистом средней квалификации.

По условию задачи: