Повторные независимые испытания

Рассмотрим методы решения задачи, в которой один и тот же опыт повторяется несколько раз. В результате каждого опыта может появиться или не появиться интересующее нас событие. Причем, нас будет интересовать не результат отдельного опыта, а результат серии опытов, а именно вероятность появления того или иного числа событий в серии независимых опытов (испытаний).

Испытания считаются независимыми, если вероятность появления события в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний.

Пусть проводится п независимых испытаний, в каждом из которых событие А может наступить с вероятностью р или не наступить с вероятностью q=1-p.

Задача. Вычислить вероятность того, что в n испытаниях событие А наступит k раз и не наступит (n-k) раз, причем последовательность появления события А не важна.

Вероятность этого сложного события по теореме об умножении вероятностей независимых событий определяется как .

Таких сложных событий может быть столько, сколько можно составить сочетаний . Все эти события несовместны, а вероятности их одинаковы, поэтому искомая вероятность определяется по формуле:

.

Полученную формулу называют формулой Бернулли.

Задача. Вероятность того, что расход электроэнергии в течение суток не превысит нормы, равна 0,75. Найти вероятность того, что расход электроэнергии не превысит нормы в течение 4 суток из 6.

Испытание: проверка расхода энергии в течение суток, повторяется 6 раз.

А: расход электроэнергии в норме; р =0,75; q=1-p= 0,25.

В: событие А наступило 4 раза в 6 независимых испытаниях.

.

Задача. На каждый лотерейный билет с вероятностью 0,15 выпадает крупный выигрыш, с вероятностью 0,2- мелкий и с вероятностью 0,65 билет остается без выигрыша. Куплено 15 билетов. Определить вероятность двух крупных и двух мелких выигрышей.

Событие А: на 15 билетов два крупных и два мелких выигрыша, остальные без выигрыша.

Число k₀ называется наивероятнейшим, если вероятность того, что событие наступит в испытаниях k₀ число раз превышает (или, по крайней мере, не меньше) вероятности остальных возможных исходов испытания.

,

где n – число испытаний; p – вероятность появления события в одном испытании; q – вероятность не появления события в одном испытании.

Если а) - дробное число, то k₀ – единственное;

б) - целое, то наивероятнейших чисел два k₀ и k₀ +1;

в) - целое, то k₀ = .

Если число независимых испытаний n достаточно велико, то вычисления по формуле Бернулли будут слишком громоздки. В таком случае формулу, хотя и асимптотическую, дает локальная теорема Лапласа.

Заметим, что для частного случая формула была найдена в 1730 году Муавром, а в 1783 году обобщена Лапласом. Поэтому теорему, о которой идет речь, иногда называют теоремой Муавра-Лапласа.

Если производится большое число независимых испытаний, в каждом из которых вероятность наступления события А постоянна и равна , то вероятность считается приближенно по формуле:

,

где - функция Гаусса (табулирована, четная); .

Чем больше n, тем точнее будет результат, полученный по формуле из локальной теоремы Лапласа.

Если число проведенных испытаний n очень велико, а вероятность р наступления события А в каждом из n независимых испытаний очень мала, то вычисляется по формуле Пуассона:

.

Формула применяется, если параметр .

Во многих задачах требуется определить вероятность того, что событие А наступит не менее и не более раз в п независимых испытаниях. Это позволяет сделать интегральная теорема Лапласа.

Если вероятность наступления события А в каждом из n независимых испытаний постоянна и равна , то вычисляется по приближенной формуле:

,

где - функция Лапласа (табулирована, нечетная, для ).

Задача. Вероятность того, что деталь не прошла проверку ОТК 0,2. Найти вероятность того, что из 400 случайно выбранных деталей непроверенными окажутся от 70 до 100.

Испытание: выбор одной детали, повторяется 400 раз.

А: деталь проверку не прошла; р =0,2; q=1-p= 0,8.

В: событие А наступило от 70 до 100 раз в 400 независимых испытаниях.