Тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа

Полярные координаты (x,y) <=> (r,j), где x=.r cos face=Symbol>j, y=r sin j,
r =(x²+y²)^1/2=ï zï =((Re z)²+(Im z)²)^1/2 - модуль комплексного числа,
tg j =y/x. j =j₀+2p k- аргумент комплексного числа.
Arg z=arg z+2p k, 0 arg z 2p.
Для комплексного числа 0=(0,0) модуль равен 0, а аргумент не определен.
Тригонометрическая форма записи комплексного числа: z=r (cosj +isinj)=r e^ij- (формула Эйлера)- показательная форма записи комплексного числа.
Примеры. а)|z|²=z z^*=a²+b².; z² |z|²;
б)z=1: |1|=1, arg 1=0; 1=1(cos 0 +i sin 0)= 1eⁱ⁰;
в) z=i: |i|=1, arg i=p /2; i=1(cos p /2 +i sin p /2)= 1e^{ip /2};
г) z=-1: |-1|=1, arg (-1)= p; -1=1(cos p +i sin p)= 1e^ip ;
д) z=-i: |-i|=1, arg (-i)= 3p /2; -i=1(cos 3p /2 +i sin 3p /2)= 1e^{i3p /2};
e) z=1+i: |1+i|= , arg (1+i)= p /4; 1+i= (cos p /4 +i sin p /4)= e^{ip /4};
ж) z=e^ij; |e^ij |=1, arg (e^ij)= j; e^ij=1 (cos j +i sin j);
з) z=-e^ij; |-e^ij |=1, arg (-e^ij)= p +j; -e^ij=1 (cos(p +j) +i sin(p +j))=e^{i(p +j)}

Геометрическая интерпретация сложения и умножения.
Сложение двух комплексных чисел можно рассматривать как сложение двух векторов на плоскости. При этом справедливы
Неравенства треугольника ïz₁+z₂ï ïz₁ï+ïz₂ï; ïz₁-z₂ï ïz₁ï-ïz₂ï
ïz₁-z₂ï - расстояние между z₁ и z₂ на комплексной плоскости.
e -окрестность точки z₀: ïz-z₀ï<e, 0<ïz-z₀ï<e - выколотая (проколотая)
e -окрестность точки z_0.
При умножении двух комплексных чисел их модули перемножаются (растяжение или сжатие), а аргументы складываются (поворот на плоскости). z₁=a₁+i b₁=r ₁e^ia; z₂=a₂+i b₂=r₂e^ib; z₁ z₂=r₁r₂e^{i(a +b)} => |z₁z₂|=|z₁||z₂|;
arg(z₁ z₂)=arg z₁+ arg z₂ .
При делении двух комплексных чисел их модули делятся (модуль знаменателя ╧ 0), а аргументы вычитаются: z₁/z₂=(r₁/r₂)e^{i(a -b)} => z₁/z₂|=|z₁|/|z₂|;
arg(z₁/z₂)=arg z₁- arg z₂.
Алгебраической формой записи комплексных чисел удобно пользоваться при операциях сложения и вычитания, а показательной- при умножении, делении, возведении в целую степень, извлечении целого корня (возведение в рациональную степень).
Возведение в целую степень. zⁿ=[r (cosj +isinj)]ⁿ=[r e^ij ]=rⁿe^inj=
=r ⁿ(cos(nj)+isin(nj)); Формула Муавра: (cosj +isinj)ⁿ = cos(nj)+isin(nj).
Пример: (1+i)³=( e^{ip /4})³=2^3/2 e^{i3p /4}=2^3/2(cos(3p /4)+i sin(3p /4))=-2+2i;
Извлечение целого корня (возведение в рациональную степень).
z=r e^ij= r e^{i(j +2p k)}, k=0, 1, 2.... => корень n-той степени из комплексного числа имеет n различных значений, котторые получаются при k=0, 1, 2...n-1.
Пример: =1 e^{i(0+2p k)/4}={1 (k=0), i (k=1), -1 (k=2), -i (k=3) }.