Задача №2. У продавца и покупателя имеется неограниченное кол-во монет достоинством (1,2,5,10,20,50,100,200,500 к примеру)

ОЛИМПИАДЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ ЗАДАЧИ И РЕШЕНИЯ

ЧАСТЬ 1

Задача №1

У продавца и покупателя имеется неограниченное кол-во монет достоинством (1,2,5,10,20,50,100,200,500 к примеру). Покупатель купил товар на сумму n. Hужно найти минимальное кол-во монет, которые будут использованы при расплате. Деньги может давать как покупатель, так и продавец.

Рассмотрим кольцо многочленов над некоторым полем. Пусть I некоторый идеал в этом кольце, порожденный многочленами g₁, g₂,..., g_n. При этом набор G={g₁, g₂,..., g_n} называется базисом (или системой образующих) идеала I (обозначение I=<G>).

Пусть на мономах задан линейный порядок (term order), удовлетворяющий условиям: * для любого монома a, отличного от 1, a>1; * если a<b, то для любого монома c имеем ac<bc. Примерами таких порядков являются: лексикографический (lex); общей степени, затем лексикографический (deglex); общей степени, затем обратный лексикографический (degrevlex).

У любого многочлена f однозначно определяется старший (в смысле заданного порядка) моном (leading term), который мы будем обозначать lt(f). Можно считать, что все рассматриваемые многочлены нормированы (коэффициент при старшем мономе равен 1). Если lt(f) делится на lt(g), то многочлен f можно редуцировать относительно многочлена g - результатом будет многочлен f-(lt(f)/lt(g))*g.

Многочлен f называется редуцированным относительно G, если lt(f) не делится на lt(g) ни для какого g из G. Любой многочлен f за конечное число редукций можно привести к редуцированному относительно G многочлену. Заметим, что результат такой редукции, вообще говоря, неоднозначен.

Определение Базис G идеала I называется _базисом Грёбнера_ (стандартным базисом) относительно порядка <, если в результате любой редукции элемента f идеала I к редуцированному относительно G многочлену всегда получается 0.

Каждый элемент g из G можно редуцировать относительно набора G-{g}. Результатом будет редуцированный базис, в котором старшие термы любых двух элементов не делятся один на другой.

Доказано, что
1) любой идеал обладает базисом Грёбнера относительно любого порядка;
2) редуцированный базис Грёбнера идеала I относительно порядка < определяется однозначно с точностью до порядка следования многочленов;
2') два идеала I и J равны между собой тогда и только тогда, когда их базисы Грёбнера совпадают.

Для построения базисов Грёбнера Бухбергер придумал алгоритм, который теперь носит его имя.

IK> и каким именно образом они используются?

Пусть достоинства монет 1=c₀, c₁,..., c_m-1. Любую сумму вида (k₀-k_m)*c₀ + (k₁-k_m+1)*c₁ +... + (k_m-1-k_2m-1)*c_m-1, где все k_i, i=0..2m-1 неотрицательны, которые мы будем кодировать мономами x₀^{k₀}x₁^{k₁}...x_2m-1^{k_2m-1}.

Пусть I - идеал, порожденный мономами соответствующими нулевой сумме.

Утв 1. Базисом I является набор многочленов x₀^{c_i}-x_i, x₁^{c_i}x_m+i-1, i=0..m-1. Доказательство индукцией по m. [skipped]

Пусть G - базис Грёбнера идеала I относительно deglex. Пусть нам дана сумма s. Редуцируем многочлен x₀^s относительно G.

Утв 2. Результатом этой редукции будет многочлен x₀^{k₀}x₁^{k₁}...x_2m-1^{k_2m-1}, причем в каждой паре (k_i,k_m+i), i=0..m-1 не более одного числа отлично от нуля и s = (k₀-k_m)*c₀ + (k₁-k_m+1)*c₁ +... + (k_m-1-k_2m-1)*c_m-1 и есть искомое минимальное по числу монет представление суммы s. Доказательство от противного. [skipped]

IK> Каков собственно алгоритм?

Алгоритм простой:
1) построить базис Грёбнера указанного идеала относительно deglex;
2) редуцировать многочлен x₀^s;
3) интерпретировать результат.

Если нужно решить несколько задач для одного и того же набора номиналов, но разных сумм, то базис Грёбнера нужно построить только один раз (это самая трудоемкая операция), и затем очень быстро проводить редукцию для каждой из сумм.

{$B-}const m=9; c:array[1..m] of integer=(1,2,5,10,20,50,100,200,500); m2=2*m;type TTerm=array[1..m2] of integer; PTermList=^TTermList; TTermList=record u,v:TTerm; next:PTermList; end;var Basis:TTermList; p,q,r,t:PTermList; i,j,k:integer;function cmp(var x,y:TTerm):integer;var t,i,dx,dy:integer;begin dx:=0; dy:=0; t:=0; for i:=1 to m2 do begin inc(dx,x[i]); inc(dy,y[i]); if t=0 then begin if x[i]>y[i] then t:=1; if y[i]>x[i] then t:=-1; end; end; if dx=dy then cmp:=t else if dx>dy then cmp:=1 else cmp:=-1;end;function S(var a,b,c:PTermList):boolean;var x,y:TTerm; i,t:integer;begin S:=False; for i:=1 to m2 do begin if a^.u[i]>b^.u[i] then t:=a^.u[i] else t:=b^.u[i]; x[i]:=t-a^.u[i]+a^.v[i]; y[i]:=t-b^.u[i]+b^.v[i]; if x[i]>y[i] then t:=y[i] else t:=x[i]; dec(x[i],t); dec(y[i],t); end; case cmp(x,y) of 1: begin c^.u:=x; c^.v:=y; end; -1: begin c^.u:=y; c^.v:=x; end; else S:=True; end;end;function Reduce(var a:PTermList):boolean;var p:PTermList; x:TTerm; i:integer;begin p:=Basis.next; repeat if a<>p then begin i:=1; while (i<=m2) and (a^.u[i]>=p^.u[i]) do inc(i); if i>m2 then begin if S(a,p,a) then begin Reduce:=true; exit; end; p:=@Basis; end; end; p:=p^.next; until (p=nil); Reduce:=false;end;procedure ReduceBasis;var p,q,t:PTermList;begin p:=@Basis; repeat q:=p; p:=p^.next; while (p<>nil) and Reduce(p) do begin q^.next:=p^.next; dispose(p); p:=q^.next; end; if p=nil then break; t:=p; while (t^.next<>nil) and (cmp(t^.next^.u,p^.u)=1) do t:=t^.next; if t<>p then begin q^.next:=p^.next; p^.next:=t^.next; t^.next:=p; end; p:=q^.next; until p=nil;end;begin Basis.next:=nil; for i:=1 to m do begin if i>1 then begin new(p); with p^ do begin FillChar(u,SizeOf(u),0); u[1]:=c[i]; FillChar(v,SizeOf(v),0); v[i]:=1; next:=Basis.next; end; Basis.next:=p; end; new(p); with p^ do begin FillChar(u,SizeOf(u),0); u[1]:=c[i]; u[m+i]:=1; FillChar(v,SizeOf(v),0); next:=Basis.next; end; Basis.next:=p; end; write('Construct Groebner basis'); p:=@Basis; new(r); repeat q:=p^.next; while (q<>nil) do begin if (not S(p,q,r)) and (not Reduce(r)) then begin t:=@Basis; while (t^.next<>nil) and (cmp(t^.next^.u,r^.u)=1) do t:=t^.next; r^.next:=t^.next; t^.next:=r; new(r); write('.'); ReduceBasis; p:=@Basis; break; end; q:=q^.next; end; p:=p^.next; until p=nil; writeln(' Done'); with r^ do repeat FillChar(u,SizeOf(u),0); FillChar(v,SizeOf(v),0); write('Amount of money (0 - exit): '); readln(u[1]); if u[1]=0 then break; Reduce(r); write('Coins: '); j:=0; for i:=1 to m2 do begin for k:=1 to u[i] do if i<=m then write('+',c[i]) else write('-',c[i-m]); inc(j,u[i]); end; writeln; writeln('Total number: ',j); until false; dispose(r); p:=Basis.next; while p<>nil do begin q:=p; p:=p^.next; dispose(q); end;end.

Задача №2