Решение задач

Задача 1

Z ₃ = { }, Z ₄ = { }. Найти Z₃* Z₄*,построить таблицу Кэли для умножения Z₃* Z₄*. Является ли Z₃* Z₄* абелевой группой? Какой мультипликативной группе классов вычетов она изоморфна?

Решение. 1) Построим таблицу Кэли по сложению для групп Z ₃ = { },

+

Z ₄ = { }

+

2) Z ₃* = { }, Z ₄ * = { }. Умножение в Z ₃* и в Z ₄ * зададим таблицами Кэли

3) Прямое произведение групп Z ₃* Z ₄ * ={(, ),(, ),(, ),(, )}

	(, )	(, )	(, )	(, )
(, )	(, )	(, )	(, )	(, )
(, )	(, )	(, )	(, )	(, )
(, )	(, )	(, )	(, )	(, )
(, )	(, )	(, )	(, )	(, )

4) Элементы таблицы, симметричные относительно диагонали, совпадают, поэтому группа Z ₃* Z ₄* является абелевой.

5) Из теории известно, что если (m, n) = 1, то Z _m* Z _n* Z _mn*. Поэтому имеем: (3, 4) = 1 Z ₃* Z ₄ * Z ₁₂*= { , , , }.

Итак, Z ₃* Z ₄ * Z ₁₂*= { , , , }.