Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Общий вид такого уравнения:
где p и q -действительные числа. Корни его характеристического уравнения могут быть:
1) действительными и различными:
2) действительными и равными:
3) комплексными:
Им соответствуют следующие общие решения уравнения:
1) ;
2) ;
3) .
Пример 3.
Найти частное решение линейного однородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, удовлетворяющее начальным условиям:
Решение:
а) Характеристическое уравнение имеет два различных вещественных корня , поэтому общее решение этого дифференциального уравнения записывается в виде , где произвольные постоянные.
Отсюда
Основываясь на начальных условиях, получаем
Решая систему уравнений получаем =1; =0.
Частное решение данного уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям, приобретает вид
б) Характеристическое уравнение имеет два равных корня поэтому общее решение соответствующего дифференциального уравнения будет иметь вид Дифференцируя, получим .
|
|
Учитывая начальные условия, получаем систему для определения Откуда , поэтому частное решение имеет вид:
в) Характеристическое уравнение не имеет действительных корней. Его корни:
Поэтому общее решение данного уравнения имеет вид:
Дифференцируя, получим:
Подставляя в выражения для начальные условия, получим систему уравнений:
решая которую, найдем .
Тогда частное решение данного уравнения будет иметь вид:
Линейные неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Общий вид такого уравнения: (*)
В правой части: многочлен степени .
Общее решение уравнения (*)может быть представлено в виде
где - общее решение соответствующего линейного однородного уравнения,
- какое- либо частное решение неоднородного уравнения (*).
Для отыскания пользуются следующим правилом:
1) если число не является корнем характеристического уравнения, то где - многочлен степени с неопределенными коэффициентами;
2) если число совпадает с одним из корней характеристического уравнения, то
;
3) если число совпадает с обоими корнями характеристического уравнения, то
.
Пример 4
Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами:
Решение:
Будем искать общее решение в виде
Y – общее решение уравнения характеристическое уравнение которого а его корни и решение Y имеет вид:
Частное решение будем искать в виде
или
Подставим и в исходное уравнение, получим:
или
Составим систему для нахождения А и В.
|
|
Тогда частное решение имеет вид: .
Общее решение данного уравнения будет:
.
2 Ряды
Числовым рядом называется выражение
(1)
Ряд называется сходящимся, если сумма n первых его членов имеет предел при . Иначе ряд называется расходящимся. Ряд может сходиться лишь при условии, когда общий член ряда стремится к нулю при : (Это необходимый, но не достаточный признак сходимости для всякого ряда).
Если же , то ряд расходится. (Это достаточный признак расходимости всякого ряда).
Пример 5. Дан ряд . Проверить выполнение необходимого признака.
Необходимый признак не выполняется. Следовательно, ряд расходится.
Пример 6.
Дан гармонический ряд . Найдем для него .
Для него необходимый признак выполняется, вследствие чего он может быть или сходящимся или расходящимся, что можно установить дополнительным исследованием. (Смотри ниже).