2015-06-24
1484
Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Общий вид такого уравнения: 
где p и q -действительные числа. Корни его характеристического уравнения 
могут быть:
1) действительными и различными: 
2) действительными и равными: 
3) комплексными: 
Им соответствуют следующие общие решения уравнения:
1) 
;
2) 
;
3) 
.
Пример 3.
Найти частное решение линейного однородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, удовлетворяющее начальным условиям:
Решение:
а) Характеристическое уравнение 
имеет два различных вещественных корня 
, поэтому общее решение этого дифференциального уравнения записывается в виде 
, где 
произвольные постоянные.
Отсюда 
Основываясь на начальных условиях, получаем 
Решая систему уравнений 
получаем 
=1; 
=0.
Частное решение данного уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям, приобретает вид 
б) Характеристическое уравнение 
имеет два равных корня 
поэтому общее решение соответствующего дифференциального уравнения будет иметь вид 
Дифференцируя, получим 
.
Учитывая начальные условия, получаем систему для определения 
Откуда 
, поэтому частное решение имеет вид: 
в) Характеристическое уравнение 
не имеет действительных корней. Его корни: 
Поэтому общее решение данного уравнения имеет вид: 
Дифференцируя, получим:
Подставляя в выражения для 
начальные условия, получим систему уравнений: 
решая которую, найдем 
.
Тогда частное решение данного уравнения будет иметь вид: 
Линейные неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Общий вид такого уравнения: 
(*)
В правой части: 
многочлен степени 
.
Общее решение уравнения (*)может быть представлено в виде
где 
- общее решение соответствующего линейного однородного уравнения,
- какое- либо частное решение неоднородного уравнения (*).
Для отыскания пользуются следующим правилом:
1) если число 
не является корнем характеристического уравнения, то 
где 
- многочлен степени с неопределенными коэффициентами;
2) если число совпадает с одним из корней характеристического уравнения, то
;
3) если число совпадает с обоими корнями характеристического уравнения, то
.
Пример 4
Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами: 
Решение:
Будем искать общее решение в виде 
Y – общее решение уравнения 
характеристическое уравнение которого 
а его корни 
и решение Y имеет вид:
Частное решение будем искать в виде
или 
Подставим 
и в исходное уравнение, получим:
или
Составим систему для нахождения А и В. 
Тогда частное решение имеет вид: 
.
Общее решение данного уравнения будет:
.
2 Ряды
Числовым рядом называется выражение
(1)
Ряд называется сходящимся, если сумма n первых его членов 
имеет предел при 
. Иначе ряд называется расходящимся. Ряд может сходиться лишь при условии, когда общий член ряда 
стремится к нулю при : 
(Это необходимый, но не достаточный признак сходимости для всякого ряда).
Если же 
, то ряд расходится. (Это достаточный признак расходимости всякого ряда).
Пример 5. Дан ряд 
. Проверить выполнение необходимого признака.
Необходимый признак не выполняется. Следовательно, ряд расходится.
Пример 6.
Дан гармонический ряд 
. Найдем для него 
.
Для него необходимый признак выполняется, вследствие чего он может быть или сходящимся или расходящимся, что можно установить дополнительным исследованием. (Смотри ниже).
