Дифференциальным уравнениемназывается равенство, содержащее производные или дифференциалы неизвестной функции.
Если неизвестная функция зависит только от одного аргумента, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным, а если она зависит от нескольких аргументов и дифференциальное уравнение содержит ее частные производные по этим аргументам, то оно называется уравнением с частными производными.
Будем рассматривать обыкновенные дифференциальные уравнения.
Порядком дифференциального уравнения называется порядок высшей производной, содержащейся в этом уравнении.
Функция, удовлетворяющая дифференциальному уравнению, т.е. обращающая его в тождество, называется интегралом (решением) данного уравнения.
Интеграл дифференциального уравнения, называется общим, если он содержит столько независимых произвольных постоянных, каков порядокуравнения. А функции, получаемые из общего интеграла при различных числовых значениях произвольных постоянных, называются частными интегралами этого уравнения.
|
|
Отыскание частного интеграла дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальным условиям, называется задачей Коши.
1.1 Дифференциальные уравнения первого порядка
Уравнение с разделенными переменными
Общий вид:
Его общий интеграл:
Уравнение с разделяющимися переменными
Его общий вид: или .
Разделяя переменные: , получаем дифференциальное уравнение с разделенными переменными.
Однородное дифференциальное уравнение первого порядка
Это уравнение вида: если функция удовлетворяет условию , k=const
Уравнение первого порядка называется однородным, если можно представить как функцию только одного отношения переменных , т.е. уравнения вида .
Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными подстановкой у=ux (или x=uy), где u=u (x) (u=u (y))- новая функция.
Пример 1.
Найти общий интеграл данного уравнения:
Решение:
Это однородное уравнение, т.к.
Далее вводим новую функцию , полагая при этом и после подстановки данное уравнение преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными или
Разделим переменные: и, интегрируя, найдем или . Исключая вспомогательную функцию , окончательно получим
Линейные уравнения первого порядка
Это уравнения вида: , где и - известные функции от х.
Посредством замены функции произведением двух вспомогательных функций линейное уравнение сводится к двум уравнениям с разделяющимися переменными относительно каждой из вспомогательных функций.
Пример 2
Решить уравнение
Решение:
Убедившись, что данное уравнение линейное, полагаем тогда и данное уравнение преобразуется к виду:
|
|
Так как одну из вспомогательных функций или можно взять произвольно, то выберем в качестве какой – либо частный интеграл уравнения (1)
Тогда для отыскания получим уравнение: (2)
Решая первое уравнение, найдем . Разделяя переменные и интегрируя, найдем его простейший, отличный от нуля частный интеграл:
Подставляя v во второе уравнение и решая его, найдем как общий интеграл этого уравнения:
Зная и , находим искомую функцию .
Уравнение Бернулли
Его общий вид: . Данное уравнение отличается от линейного тем, что в правую часть входит множителем некоторая степень функции . Решается оно так же, как и линейное. Посредством подстановки сводится к двум уравнениям с разделяющимися переменными.