Операции над множествами. Подытожим наши знания о множествах: Множества состоят из элементов

Сравнение множеств

Подытожим наши знания о множествах:

• Множества состоят из элементов. Запись х Î А означает, что х является элементом множества А.
• Говорят, что множество А является подмножеством множества В (запись А Í В), если все элементы А являются элементами В:

А Í В Ç" а (а Î А ® а Î В).

· При этом множество В называется надмножеством А.

• Множества А и В равны, ­ если они содержат одни и те же элементы (запись А=В) – это есть аксиома объёмности:

А = В Ç А Í В & В Í А.

• Если А – подмножество В, не равное всему В, т.е. А Í В, но В Ú А, то А называют собственным подмножеством В (запись АÌВ).
• Пустое множество ¯ не содержит ни одного элемента.

Докажем, что пустое множество ¯ является подмножеством любого множества А.

□ Допустим, что для некоторого А включение ¯ÍА ложно – ƒ$ а (а ί & а ÏА). Но это предположение противоречит определению ¯; следовательно, утверждение "A (¯ÍА) истинно. ■

• В дальнейшем мы будем предполагать, что все рассматриваемые (в конкретной задаче) множества являются подмножествами некоторого множества Ô. Это множество принято называют универсальным или универсумом. Таким образом, по определению универсума:

"А, А Í Ô.

Понятие универсума не является строгим – и парадокс Рассела основан на некорректной попытке определить «множество всех множеств». Но в приложениях теории множеств никаких парадоксов не возникает, т.к. всегда рассматриваются конкретные семейства множеств.