А) иррефлексивно, б) антисимметрично, в) транзитивно

Отношение строгого предпорядка:

а) иррефлексивно, б) транзитивно.

NB.а) принято обозначать отношение порядка принято обычными символами неравенства: ≤, <, ≥, > или похожими на них: ’0

б) слово частичный употребляется в смысле не полный, т.е. существуют пары элементов, которые не принадлежат данному отношению – ни прямому, ни обратному.

Если на множестве А задано отношение порядка R – строгого или нестрогого, и при этом для любых a, bÎА следует aRb или bRA, то данное отношение называется отношением линейного порядка, а множество А – линейно упорядоченным по отношению R множеством.

Аналогично определяются частично упорядоченные множества – множества с заданными на них отношениями частичного порядка.

Примеры:

• бинарное отношение параллельности прямых, векторов, плоскостей – отношение эквивалентности;
• множества действительных, рациональных, натуральных чисел – линейно упорядочены;
• на множестве комплексных чисел (= упорядоченных пар действительных чисел) можно ввести отношение частичного порядка, например, сравнивая по действительной части или по модулю, можно ввести так называемый лексикографический порядок – тогда это будет вполне упорядоченное множество. Правда, эти порядки (кроме, б. м., модуля) представляются весьма искусственными, не связанными с внутренними свойствами комплексных чисел;
• на множестве натуральных чисел зададим отношение x|y – х делит y. Отношение рефлексивно, поскольку x|x. Покажем антисимметричность. Пусть x|y&y|x. Тогда t₁, t₂, т.ч. y=xt₁&x=yt₂, т.е. y=yt₁t₂ или t₁t₂=1, т.е. t₁=t₂=1 (на N) и x=y. Транзитивность доказывается аналогично: если x|y&y|z (y=xt, z=ys) т.е. z=tsx. Это – отношение частичного порядка. Если из определения исключить деление на себя, то отношение станет иррефлексивным – отношением строгого частичного порядка.
• Вывод: | – отношение частичного порядка.
• Рассмотрим булеан 2^А множества А. Покажем, что отношение включения на множестве 2^А есть отношение порядка. Для любых множеств А,В,С и отношения включения выполняются условия (ир)рефлексивности, антисимметричности (определение равенства множеств!) и транзитивности. Ещё раз отметим, что булеан упорядочен частично, а числа – линейно.

-

Замечание1. Из определения антисимметричности следует, что в случае строгого порядка, т.е. когда диагональ не принадлежит отношению, из двух пар вида <a,b> и <b,a> отношению может принадлежать не более одной, т.е. если <a,b> R, то <b,a> R, и наоборот.

Замечание 2. Всякий частичный порядок на конечном множестве может быть дополнен до полного.

Замечание 3. Замыкание отношений. Любое отношение на множестве можно дополнить до рефлексивного и/или транзитивного. Такая операция называется рефлексивным и/или транзитивным замыканием отношения и строится следующим образом: для рефлексивного замыкания исходное отношение R следует объединить с тождественным (добавить диагональ); а для транзитивного замыкания необходимо объединить все степени отношения.

Пример: отношение достижимости из населенных пунктов является рефлексивным и транзитивным замыканием связанности пунктов дорогой.

Замечание 4. На данном множестве могут быть введены разные отношения порядка.

Пример: булеан 2-х элементного множества {a,b}. Пустое множество сравнимо со всеми остальными, 1-элементные подмножества сравнимы с 2-элементным, но не сравнимы между собой. Если же занумеровать множества, то мы получим в двоичной системе счисления линейный порядок на булеане.