Абстрактные алгебры

Множество М вместе с заданной на нём совокупностью операций Σ=(φ₁,…, φ_n,…): φ_i: Mⁿ→M, т.е. система (М, Σ), называется алгеброй; М называется носителем (или основой) алгебры. Вектор арностей <n₁,…,n_n> операций называется типом, а множество операций Σ – сигнатурой алгебры.

Другими словами, алгебра – это пара множеств A=(M; Σ). Подчеркнём, что алгебра – это не множество и отдельно сигнатура, а именно «синтез» этих двух объектов. — На одном и том же множестве могут быть определены разные операции и, следовательно, «жить» разные алгебры.

Подмножество Х Í М называется замкнутым относительно операции ω, если для любых элементов x₁,x₂,…,x_n ÎX ω(x₁, …, x_n) ÎX.

Если Х замкнуто относительно всех операций сигнатуры, то пара (X, Σ) называется подалгеброй алгебры А.

Замыканием множества Х Í М относительно сигнатуры Σ (обозначается [X]_Σ) называется множество всех элементов, которые можно получить из Х применением операций алгебры.

Пример: в алгебре <Z;+,(·)> (арифметике целых чисел) замыканием множества {2} является множество чётных чисел [{2}]={n|n=2k & k Z}.