Аксиомы теории множеств

В аксиоматике Цермело-Френкеля неопределимы включение Î и равенство = элементов.

А2. Аксиома объёмности. Два множества равны, если они состоят из одних и тех же элементов.

А3. Аксиома пары. Для любых А и В существует множество такое, что А и В являются его единственными элементами.

А4. Аксиома объединения. Для произвольного множества А существует множество В, которое состоит в точности из всех элементов, входящих в элементы множества А.

А5. Аксиома булеана. Для любого множества А существует множество, состоящее в точности из всех подмножеств множества А.

А6. Аксиома выделения. Для любого множества А и свойства Ф такого, что "хÎА Р(х) либо истинно, либо ложно, существует множество, состоящее в точности из тех элементов, для которых Р(х) истинно.

А7. Аксиома бесконечности. Существует по крайней мере одно бесконечное множество – множество натуральных чисел {0,1,2,…}.

А8. Аксиома выбора. Для любого непустого семейства попарно непересекающихся множеств существует некоторое множество, содержащее в качестве своих элементов ровно по одному элементу из каждого множества семейства. (Если дано множество А, то существует функция f, которая ставит в соответствие каждому непустому подмножеству В из множества А один определённый элемент f(в) из множества В.)

А9. Аксиома фундирования. Не существует бесконечной убывающей последовательности Х₁œХ₂œ….

А10. Аксиома подстановки. Для каждого множества А и функции f, определённой на А, существует множество, содержащее в точности объекты f(x) для хÎА.

Лекция 5

Свойства операций. Алгебры.

ЧАСТЬ 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ

Предметом рассмотрения в абстрактной алгебре являются множества с заданными на них операциями и отношениями. При этом природа множеств и операций может существенно отличаться от привычных числовых множеств и известных операций над числами. На алгебраической базе наиболее удобно разрабатывать общие подходы к работе с объектами различной природы. Необходимость в алгебре как теоретической основе программирования возникла в связи с развитием программирования от числовых расчётов к манипулированию сложно организованными нечисловыми структурами.