Упражнение 22. Пусть из одной точки О выходят лучи а, а1, а2, ,аn, причём все лучи а1, а2, ,аn расположены по одну сторону от прямой а¢

Пусть из одной точки О выходят лучи а, а₁, а₂,…,а_n, причём все лучи а₁, а₂,…,а_n расположены по одну сторону от прямой а¢. Докажите, что тогда среди лучей а₁, а₂,…,а_n $! луч, который вместе с лучом а образует угол, внутри которого расположены все остальные лучи.

Def. Систему отрезков А₀А₁, А₁А₂,…,А_n-1A_n называют ломаной с концами А₀ и A_n. Если А₀=A_n, то ломаную называют замкнутой. Если при этом ещё все вершины ломаной А₀, А₁,…,А_n-1 лежат в одной плоскости, то такую ломаную называют многоугольником А₀А₁,…,А_n-1, при этом точки А₀, А₁,…,А_n-1 называются вершинами многоугольника, а отрезки А₀А₁, А₁А₂,…,А_n-1A₀ – его сторонами.

Упражнение 23*.

Пусть точка А лежит внутри Ð(h,k), лежащего в плоскости a, а точка В – снаружи (например, по другую сторону от прямой h¢). Докажите, что тогда любая ломаная, лежащая в плоскости a и соединяющая А с В пересекает Ð(h,k) либо по стороне h, либо по стороне k, либо проходит через его вершину.

(Prove that broken line should intersect somewhere line h¢. let P be the first point of its intersection with line h¢ counting from A. Let P lie on segment QS where P can coincide with its endpoint S but not with Q. Show, that whole A…P lies on one side from h¢. Show, that A and P are on different sides from k¢. Finish the proof, explaining why A…P meets exactly ray k)