Def: .
1*. Прежде всего отметим что функция не определена при . Кроме того, если то в бесконечном произведении найдется член для которого обращается в ноль и, следовательно, бесконечное произведение не определено.
Для изучения сходимости рассмотрим сходимость ряда: .
Для него
– .
Из сказанного ясно, что ряд, а вместе с ним и бесконечное произведение, сходятся абсолютно, при .
2*. . В самом деле:
=
= .
3*. Формула понижения: .
=
= .
Тогда: . Гамма-функция является, в некотором смысле, расширением понятия факториала на не целые значения аргумента.
4*. Формула дополнения: .
=
= =
= = ….
Полагая , получим и учитывая, что: получим
….= .
Из доказанной формулы дополнения :
• при следует, что: .
• при получаем, что: Þ . И, следовательно:
; .
5*. Формула удвоения: .
6*. Формула умножения: .
7*. Формула Лежандра (Эйлеров интеграл II - рода): .
8*. Бета-функция (Эйлеров интеграл I – рода): .