Формула Стирлинга

Запишем разложения: и , а после этого, вычтем из первого разложения второго:

.

Положим в этой формуле . Тогда: и, следовательно:

Þ

Þ . И, очевидно, .

Оценка сверху для дает следующее: = =

= = = = .

Из оценок для , получаем: и, потенцируя:

. (*)

Теперь рассмотрим последовательность: .

.

учитывая (*), получаем: .

Таким образом: и .

Последовательность возрастающая и ограничена сверху . Значит и

Þ Þ , т.е. Þ

.

Для нахождения величины a воспользуемся формулой Валлиса:

.

= = = = ….

Подставляя вместо , полученное для него выражение, получаем .

Тогда: . Это и есть формула Стирлинга.

РАЗДЕЛ 7. ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ.