2015-06-24
1757
Записывая очевидное равенство: 
, приходим к выводу о том, что 
и 
сходятся и расходятся одновременно 
.
Def: Бесконечное произведение называется сходящимся абсолютно или условно, если абсолютно или условно, соответственно, сходится ряд .
Примеры:
1°. Рассмотрим 
. Для его частичных произведений, получим:
= 
= 
=
= 
= 
.
Бесконечное произведение сходится, по определению.
2°. Рассмотрим 
. Для его частичных произведений, получим:
= 
= 
.
Произведение сходится, если 
. При этом 
.
§. Разложение sin x и cos x в бесконечное произведение.
Запишем формулу Муавра 
и возьмём мнимую часть от правой и левой части равенства:
= 
= …
Отметим что при четных 
слагаемые в сумме вещественны и, следовательно, нас не интересуют, а при нечетных слагаемые чисто мнимые и, поэтому, положив 
, продолжим выкладку: … = 
=
= 
= 
.
т.е. 
.
Разложив 
, где 
–корни полинома 
, и отметив что, если 
, то z -корень Þ 
, k = 1,2,…, n. Константа 
. Учитывая, что 
делаем заключение: 
.
Положим 
и тогда, при фиксированном k:
Тогда:
= 
.
Чтобы рассмотреть 
вспомним неравенство 
.
|
|
|
Тогда: 
и 
.
Следовательно: 
= 
.
Таким образом: 
(*)
Бесконечное произведение 
сходится, ибо сходится ряд 
. (Здесь 
выбрано так, чтобы 
). Поэтому остаточное произведение 
должно стремиться к единице при 
. Очевидно, мы лишь усилим неравенство (*), если напишем: 
.
Переходя к пределу при 
и при фиксированном , получаем: 
. И, следовательно, 
. Мы приходим к разложению 
в бесконечное произведение, впервые полученное Эйлером: 
.
Учитывая, что 
и используя полученное разложение в бесконечное произведение, можем получить разложение 
в бесконечное произведение.
В самом деле:
.
Тоже самое разложение можно получить и записав 
, а положив в разложении , 
получим формулу Валлиса: 
=
.
