Суть метода заключается в том, что систему уравнений с помощью элементарных преобразований приводят к эквивалентной ей системе с треугольной матрицей (системы называются эквивалентными, если множества их решений совпадают). Эти действия называются прямым ходом. Затем из полученной треугольной системы переменные находят с помощью последовательных подстановок (обратный ход).
Элементарными преобразованиями систем являются:
1) Умножение или деление коэффициентов и свободных членов на одно и то же число
2) Сложение и вычитание уравнений
3) Перестановка уравнений системы местами.
4) Исключение из системы уравнений, в которых все коэффициенты при неизвестных и свободные члены равны нулю
Пример. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса
Составим расширенную матрицу системы.
А* = .
Выполним над этой матрицей следующие преобразования:
1) поменяем местами 1 и 2 строки;
2) прибавим к элементам 2 строки 1-ю строку, умноженную на -2;
3) прибавим к элементам 3 строки 1-ю строку, умноженную на -7;
4) прибавим к элементам 3 строки 2-ю строку, умноженную на -3;
А* =
Получили систему с треугольной матрицей. Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:
, откуда получаем: x 3 = 2; x 2 = 5; x 1 = 1.