Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя

Теорема Лопиталя. Если функции f(x) и g(x) дифференцируемы в окрестности точки а, непрерывны в точке а, g¢(x) отлична от нуля в окрестности точки а и f(a) = g(a) = 0, то предел отношения функций при х®а равен пределу отношения их производных, если этот предел (конечный или бесконечный) существует.

Замечание. Теорема остается в силе и в том случае, когда в точке x = a функции j (x) и y (x) обращаются в бесконечность.

Правило Лопиталя. Для раскрытия неопределенностей и надо заменить предел отношения двух функций пределом отношения их производных. Если окажется, что отношение производных имеет конечный предел, то к этому же пределу стремится и отношение данных функций.

Пример: Найти предел .

При попытке непосредственного вычисления предела получается неопределенность вида . Функции, входящие в числитель и знаменатель дроби удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя: f¢(x) = 2 x + ; g¢(x) = e^x. Тогда = .

Если при решении примера после применения правила Лопиталя попытка вычислить предел опять приводит к неопределенности, то правило Лопиталя может быть применено второй раз, третий и т.д. пока не будет получен результат. Естественно, это возможно только в том случае, если вновь полученные функции в свою очередь удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя.

Пример: Найти предел .

При подстановке х = 0 получается неопределенность вида . Применим правило Лопиталя. Найдем производные числителя и знаменателя: ; и подставим их в предел: - опять получилась неопределенность. Применим правило Лопиталя еще раз. ; ;

- применяем правило Лопиталя еще раз.

; ; .

Для раскрытия других неопределенностей , , , их следует предварительно преобразовать к неопределенности вида или .

Пример

Неопределенности вида можно раскрыть с помощью логарифмирования. Такие неопределенности встречаются при нахождении пределов функций вида , f(x)> 0 в окрестности точки а при х® а. Для нахождения предела такой функции достаточно найти предел функции ln y = g(x) ln f(x).