Схема исследования функций

1. Найти область определения функции и определить точки разрыва, если они имеются.

2. Установить, является функция четной или нечетной или ни той ни другой. Если функция четна или нечетна, то достаточно рассмотреть ее значения при x>0, а затем симметрично относительно оси OY или начала координат восстановить ее и для значений x<0.

3. Исследовать функцию на периодичность. Если функция периодическая, то достаточно рассмотреть ее на одном периоде.

4. Найти точки пересечения графика функции с осями координат (если это возможно)

5. Провести исследование функции на экстремум и найти интервалы возрастания и убывания функции.

6. Найти точки перегиба кривой и интервалы выпуклости, вогнутости функции.

7. Найти асимптоты графика функции.

8. Пользуясь результатами шагов 1-7, строят график функции. Иногда для большей точности находят несколько дополнительных точек; их координаты вычисляют, пользуясь уравнением кривой.

Пример. Исследовать функцию и построить ее график.

1) Областью определения функции являются промежутки (-¥; -1) È (-1; 1) È (1; ¥). Областью значенийданной функции является интервал (-¥; ¥).

Точками разрыва функции являются точки х = 1, х = -1.

2) Функция является нечетной, т.к. .

3) Функция не периодическая.

4) График пересекает оси координат в точке (0; 0).

5) Находим критические точки.

Критические точки: x = 0; x = - ; x = ; x = -1; x = 1.

Находим промежутки возрастания и убывания функции. Для этого определяем знаки производной функции на промежутках.

-¥ < x < - , y¢ > 0, функция возрастает

- < x < -1, y ¢ < 0, функция убывает

-1 < x < 0, y ¢ < 0, функция убывает

0 < x < 1, y ¢ < 0, функция убывает

1 < x < , y ¢ < 0, функция убывает

< x < ¥, y ¢ > 0, функция возрастает

Видно, что точка х = - является точкой максимума, а точка х = является точкой минимума. Значения функции в этих точках равны соответственно 3 /2 и -3 /2.

6) Найдем вторую производную функции

.

Определим выпуклость и вогнутость кривой на промежутках.

-¥ < x < - , y ¢¢ < 0, кривая выпуклая

- < x < -1, y ¢¢ < 0, кривая выпуклая

-1 < x < 0, y ¢¢ > 0, кривая вогнутая

0 < x < 1, y ¢¢ < 0, кривая выпуклая

1 < x < , y ¢¢ > 0, кривая вогнутая

< x < ¥, y ¢¢ > 0, кривая вогнутая

7) Найдем асимптоты кривой. Прямые х = 1, х = -1 являются вертикальными асимптотами, т.к. в них односторонние пределы равны бесконечности. Теперь найдем наклонные асимптоты.

Уравнение наклонной асимптоты: y = x.

8) Построим график функции по результатам исследования.