Правило Лопиталя. Т.1.4.Основные теоремы дифференциального исчисления

Т.1.4.Основные теоремы дифференциального исчисления. Правило Лопиталя, 4ч.

План

1.Теоремы о дифференцируемых функциях.

2.Правило Лопиталя.

3.Геометрический смысл теорем дифференциального исчисления.

Теорема Ферма. Если дифференцируемая на промежутке X функция у = f(x) достигает наибольшего или наименьшего значения во внутренней точке х₀ этого промежутка, то производная функция в этой точке равна нулю, т.е. f'(х₀) = 0.

F'(x₀) = 0

х_o

Теорема Ролля. Пусть функция y = f(x) удовлетворяет следующие условиям:

1. непрерывна на отрезке ;

2. дифференцируема на интервале ;

3. на концаx отрезка принимает равные значение, т.е. f(a) = f(b).

Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна такая точка ξє (а, b), в которой производная функция равна нулю: f'( ξ ) = 0.

Теорема Лагранжа. Пусть функция y = f(x) удовлетворяет следующим условиям:

1. непрерывная на отрезке ;

2. дифференцируема на интервале ;

Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна такая точка ξє (а, b), в которой производная равна частному от деления приращения функции на приращение аргумента на этом отрезке, т.е.

f'( ξ ) = .

Теорема. Предел отношения двух бесконечно малыx или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует в указанном смысле.

Итак, если имеется неопределенность вида или , то