Векторное произведение векторов и применяется:
для нахождения площади параллелограмма, построенного на векторах и ;
для нахождения площади треугольника, построенного на векторах и ;
для нахождения синуса угла между векторами и ;
для нахождения вектора, перпендикулярного векторам и .
1) Площадь параллелограмма, построенного на векторах и , может быть вычислена по формуле , где - угол между векторами и .
Замечание. Если и , то и . Отсюда следует, что модуль определителя второго порядка численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах и .
2) Площадь треугольника, построенного на векторах и , равна половине площади параллелограмма, построенного на этих же векторах, т.е. , где - угол между векторами и .
3) Синус угла между векторами и может быть вычислен по формуле .
4) Вектор перпендикулярен вектору и вектору .
Замечание. Векторное произведение может быть использовано при решении системы линейных однородных уравнений вида Если векторы и неколлинеарны, то является решением исходной системы.
|
|
►Действительно, из системы уравнений следует, что вектор перпендикулярен векторам и , а, следовательно, . ◄
● Пример 12. Дано: , , , , .
Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и .
Найти синус угла между векторами и .
Решение. Площадь параллелограмма, построенного на векторах и равна модулю векторного произведения векторов и , т.е.
.
.
= .
.
Ответ: , .
● Пример 13. Дано: , , , , .
Найти значение параметра , при котором векторы и коллинеарны.
Решение. Первый способ. Так как векторы и коллинеарны, то их векторное произведение равно нулю. =0, а так как , то и .
Второй способ. Векторы и составляют базис системы векторов , , и . В базисе и . Так как векторы и коллинеарны, то , откуда ●
● Пример 14. Найти координаты вектора , длина которого равна 15, зная, что он перпендикулярен оси и вектору и образует острый угол с осью .
Решение. и , поэтому .
, откуда
Так как вектор образует острый угол с осью , то вторая его координата положительна, тогда и ●
● Пример 15. Найти площадь параллелограмма , если известны координаты трёх его вершин , и .
Решение. . , , , .
● Пример 16. , , - вершины треугольника . Найти недостающую координату точки . если площадь треугольника равна 3.
Решение. Площадь равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и , т.е. .
, , . , откуда 16, и .
Ответ: или .
● Пример 17. Решить систему
Решение. Из уравнений системы следует, что вектор перпендикулярен векторам и . Тогда - решение данной системы. ●