2015-06-24
7524
Векторное произведение векторов 
и 
применяется:
для нахождения площади параллелограмма, построенного на векторах и ;
для нахождения площади треугольника, построенного на векторах и ;
для нахождения синуса угла между векторами и ;
для нахождения вектора, перпендикулярного векторам и .
1) Площадь 
параллелограмма, построенного на векторах и , может быть вычислена по формуле 
, где 
- угол между векторами и .
Замечание. Если 
и 
, то 
и 
. Отсюда следует, что модуль определителя второго порядка численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах 
и 
.
2) Площадь 
треугольника, построенного на векторах и , равна половине площади параллелограмма, построенного на этих же векторах, т.е. 
, где - угол между векторами и .
3) Синус угла между векторами и может быть вычислен по формуле 
.
4) Вектор 
перпендикулярен вектору и вектору .
Замечание. Векторное произведение может быть использовано при решении системы линейных однородных уравнений вида 
Если векторы 
и 
неколлинеарны, то 
является решением исходной системы.
►Действительно, из системы уравнений следует, что вектор 
перпендикулярен векторам 
и 
, а, следовательно, . ◄
● Пример 12. Дано: 
, 
, 
, 
, 
.
Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах 
и 
.
Найти синус угла 
между векторами и .
Решение. Площадь параллелограмма, построенного на векторах и равна модулю векторного произведения векторов и , т.е. 
.
.
= 
.
.
Ответ: 
, 
.
● Пример 13. Дано: , , , , 
.
Найти значение параметра 
, при котором векторы и коллинеарны.
Решение. Первый способ. Так как векторы и коллинеарны, то их векторное произведение равно нулю. 
=0, а так как 
, то 
и 
.
Второй способ. Векторы и составляют базис системы векторов , , и . В базисе 
и 
. Так как векторы и коллинеарны, то 
, откуда 
●
● Пример 14. Найти координаты вектора 
, длина которого равна 15, зная, что он перпендикулярен оси 
и вектору 
и образует острый угол с осью 
.
Решение. 
и 
, поэтому 
.
, откуда 
Так как вектор образует острый угол с осью , то вторая его координата положительна, тогда 
и 
●
● Пример 15. Найти площадь параллелограмма 
, если известны координаты трёх его вершин 
, 
и 
.
Решение. 
. 
, 
, 
, 
.
● Пример 16. 
, 
, 
- вершины треугольника 
. Найти недостающую координату точки 
. если площадь треугольника равна 3.
Решение. Площадь 
равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах 
и 
, т.е. 
.
, 
, 
. 
, откуда 
16, 
и 
.
Ответ: или .
● Пример 17. Решить систему 
Решение. Из уравнений системы следует, что вектор перпендикулярен векторам 
и 
. Тогда 
- решение данной системы. ●
