Th2. Второй критерий

Для того, чтобы функциональная последовательность (1) равномерно сходилась к предельной функции на множестве M необходимо и достаточно, чтобы

(8)

□

Необходимость. Пусть выполняется условие (6), покажем, что тогда выполняется (8).

Возьмем произвольное. По нему найдем N из выполнения условия (6).

Если теперь , то для всех , тогда . В силу произвольности это означает выполнение (8).

Достаточность. Пусть выполняется условие (8). Возьмем - произвольное, тогда для этого найдем N из выполнения условия (8): т.е. такое, что для выполняется , тогда, тем более , то есть выполняется условие равномерной сходимости функциональной последовательности (6).

■

I Исследуем функциональную последовательность на равномерную сходимость , , .

1. Найдем предельную функцию .

, следовательно .

2. Найдем Исследуем на max, функцию , производная - точка max, , , - максимальное значение функции.

3. Найдем =

=0.

Ответ: исходная функциональная последовательность сходится к равномерно.