Основные определения. Функциональные последовательности и ряды

Функциональные последовательности и ряды

Пусть M – некоторое числовое множество

Если каждому натуральному числу n поставлена в соответствие некоторая функция определенная на множестве M, то говорят, что на множестве M задана функциональная последовательность

. (1)

При каждом фиксированном

функциональная последовательность (1) превращается в числовую

I , .

Пусть на множестве M определена функциональная последовательность и при функциональная последовательность (1) превращается в сходящуюся числовую последовательность . Тогда говорят, что функциональная последовательность (1) сходится в точке .

I Функциональная последовательность сходится в точках

, ,

Если функциональная последовательность сходится в каждой точке множества M, говорят, что она сходится на множестве M.

I Функциональная последовательность сходится на множестве

Пусть функциональная последовательность (1) сходится на множестве M и функция, которая на множестве M определяется формулой

, (2)

тогда называется предельной функцией функциональной последовательности (1) на множестве M.

I Найдем предельную функцию

функциональной последовательности

, , .

При ,

При .

Таким образом, предельная функция имеет вид .

Пусть на множестве M определена функциональная последовательность , тогда выражение

или

(3)

называется функциональным рядом на множестве M (функциональный ряд).

При каждом фиксированном функциональный ряд (3) превращается в числовой ряд.

Пусть на множестве M задан функциональный ряд тогда функции

(4)

называются частичными суммами функционального ряда.

Говорят, что функциональный ряд (3), заданный на множестве M сходится или расходится в точке , если в этой точке сходится или расходится функциональная последовательность частичных сумм функционального ряда, т.е. сходится или расходится числовой ряд .

Пусть функциональный ряд (3) сходится на числовом множестве M и - предельная функция функциональной последовательности частичных сумм функционального ряда (4), тогда эту функцию называем суммой данного функционального ряда и пишут