Признак Даламбера

(Жан Лерон Даламбер (1717 – 1783) – французский математик)

Если для ряда с положительными членами существует такое число q<1, что для всех достаточно больших n выполняется неравенство

то ряд сходится, если же для всех достаточно больших n выполняется условие то ряд расходится.

Теорема. (Предельный признак Даламбера является следствием из приведенного выше признака Даламбера.) Если существует предел , то при ряд сходится, а при – расходится.

Если l = 1, то на вопрос о сходимости ответить нельзя.

Доказательство. Так как , то по определению предела для любого e>0 найдется натуральное число N такое, что при n>N выполняется неравенство .

Пусть . Можно подобрать e так, что число l+e<1. Обозначим l+e=q, q<1. Тогда из правой части неравенства получаем . В силу свойства числовых рядов можно считать, что для всех n=1,2,3… Давая номеру n эти значения, получаем серию неравенств:

, , ,…, ,…

т.е. члены ряда меньше соответствующих членов ряда , который сходится как ряд геометрической прогрессии со знаменателем 0<q<1. Но тогда, на основании признака сравнения, сходится ряд , следовательно, сходится и исходный ряд.

Пусть . В этом случае . Отсюда следует, что, начиная с некоторого номера N, выполняется неравенство , т.е. члены ряда возрастают с увеличением номера n. Поэтому . На основании следствия из необходимого признака ряд расходится. Ч.т.д.