2015-06-24
1236
РЯДЫ.
Определение. Сумма членов бесконечной числовой последовательности 
называется числовым рядом: 
При этом числа 
будем называть членами ряда, а un – общим членом ряда.
Определение. Суммы 
, n = 1, 2, … называются частными (частичными) суммами ряда.
Таким образом, возможно рассматривать последовательности частичных сумм ряда S1, S2, …,Sn, …
Определение. Ряд называется сходящимся, если сходится последовательность его частных сумм. Сумма сходящегося ряда – предел последовательности его частных сумм. 
Определение. Если последовательность частных сумм ряда расходится, т.е. не имеет предела, или имеет бесконечный предел, то ряд называется расходящимся и ему не ставят в соответствие никакой суммы.
Свойства рядов.
1) Сходимость или расходимость ряда не нарушится если изменить, отбросить или добавить конечное число членов ряда.
2) Рассмотрим два ряда 
и 
, где С – постоянное число.
Теорема. Если ряд сходится и его сумма равна S, то ряд тоже сходится, и его сумма равна С×S. (C ¹ 0)
3) Рассмотрим два ряда и 
. Суммой или разностью этих рядов будет называться ряд 
, где элементы получены в результате сложения (вычитания) исходных элементов с одинаковыми номерами.
Теорема. Если ряды и сходятся и их суммы равны соответственно S и s, то ряд тоже сходится и его сумма равна S + s.
Разность двух сходящихся рядов также будет сходящимся рядом.
Сумма сходящегося и расходящегося рядов будет расходящимся рядом.
О сумме двух расходящихся рядов общего утверждения сделать нельзя.
Критерий Коши. (необходимые и достаточные условия сходимости ряда)
Для того, чтобы последовательность 
была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы для любого 
существовал такой номер N, что при n > N и любом p > 0, где р – целое число, выполнялось бы неравенство:
.
Доказательство. (необходимость)
Пусть 
, тогда для любого числа найдется номер N такой, что неравенство 
выполняется при n>N. При n>N и любом целом p>0 выполняется также неравенство 
. Учитывая оба неравенства, получаем:
Необходимость доказана. Доказательство достаточности рассматривать не будем.
Сформулируем критерий Коши для ряда.
Для того, чтобы ряд был сходящимся необходимо и достаточно, чтобы для любого существовал номер N такой, что при n>N и любом p>0 выполнялось бы неравенство
.
Однако, на практике использовать непосредственно критерий Коши не очень удобно. Поэтому как правило используются более простые признаки сходимости:
1) Если ряд сходится, то необходимо, чтобы общий член un стремился к нулю, т.е. 
.
Однако, это условие не является достаточным. Можно говорить только о том, что если общий член не стремится к нулю, то ряд точно расходится.
Доказательство: Пусть ряд сходится и 
. Тогда и 
(при 
). Учитывая, что 
при n>1, получаем 
. Ч.т.д.
Например, так называемый гармонический ряд 
является расходящимся, хотя его общий член и стремится к нулю.
Пример. Исследовать сходимость ряда 
Найдем 
- необходимый признак сходимости не выполняется, значит ряд расходится.
2) Если ряд сходится, то последовательность его частных сумм ограничена.
Однако, этот признак также не является достаточным.
Например, ряд 1-1+1-1+1-1+ … +(-1)n+1+… расходится, т.к. расходится последовательность его частных сумм в силу того, что
Однако, при этом последовательность частных сумм ограничена, т.к. 
при любом n.
Следствие (достаточное условие расходимости ряда): Если 
или этот предел не существует, то ряд расходится.
Пример. Исследовать сходимость ряда 
.
ряд расходится.
Пример. Исследовать сходимость ряда 
.
