Признак сравнения рядов с неотрицательными членами

Пусть даны два ряда и при u_n, v_n ³ 0.

Теорема. Если u_n £ v_n при любом n, то из сходимости ряда следует сходимость ряда , а из расходимости ряда следует расходимость ряда .

Доказательство. Обозначим через S_n и s_n частные суммы рядов и . Т.к. по условию теоремы ряд сходится, то его частные суммы ограничены, т.е. при всех n s_n < M, где М – некоторое число. Но т.к. u_n £ v_n, то S_n £ s_n то частные суммы ряда тоже ограничены, а этого достаточно для сходимости.

Пример. Исследовать на сходимость ряд

Т.к. , а гармонический ряд расходится, то расходится и ряд .

Пример. Исследовать на сходимость ряд

Т.к. , а ряд сходится (как убывающая геометрическая прогрессия), то ряд тоже сходится.

Также используется следующий признак сходимости:

Теорема (предельный признак сравнения). Если и существует предел , где h – число, отличное от нуля, то ряды и сходятся или расходятся одновременно.

Доказательство. По определению предела последовательности для всех n, кроме, возможно, конечного числа их, для любого e>0 выполняется неравенство , или . Если ряд сходится, то из левого неравенства и теоремы(о сравнениии рядов) вытекает, что ряд также сходится. Но тогда, согласно свойству числовых рядов, ряд сходится.