Перевод чисел из одной системы счисления в другую. Перевод десятичных чисел

Перевод десятичных чисел

Десятичное число может состоять из целой и дробной части (например, 36,47₁₀: 36 – целая часть, 47 – дробная часть). Каждая из частей числа переводить в другую систему счисления нужно по определенному правилу.

- в двоичную систему счисления

При переводе целой части числа его необходимо последовательно делить на 2 до тех пор, пока не останется остаток равный 1 или 0. Двоичное число записывается как последовательность остатков от деления, записанных в обратном порядке, начиная с последнего.

При переводе дробной части числа необходимо сначала саму дробь, а затем дробные части всех последующих произведений последовательно умножать на 2, отделяя после каждого умножения целую часть произведения. Умножение производиться до получения нулей в дробной части. Число в новой системе записывается как последовательность полученных целых частей произведения.

Умножение производится до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равной нулю. Это значит, что сделан точный перевод. В противном случае перевод осуществляется до заданной точности. Чем больше знаков в дробной части полученного числа, тем точнее перевод.

Пример:

Перевести десятичное число 57,15₁₀ в двоичную систему счисления:

Перевод целой части	Перевод дробной части
	× 0,       × 0,       × 0,       × 1,       × 0,       × 0,         1,

Ответ: 57,15₁₀ = 111001,001001₂

- в восьмеричную систему счисления

Перевод производиться по тому же правило, что и в двоичную с некоторыми отличиями. Целую часть десятичного числа нужно последовательно делить на 8 до тех пор, пока не останется остаток меньше или равный 7. При переводе дробной части нужно умножать на 8.

Пример:

Перевести десятичное число 57,15₁₀ восьмеричную систему счисления:

Перевод целой части	Перевод дробной части
	× 0,       × 1,       × 1,         4,

Ответ: 57,15₁₀ = 71,114₈

- в шестнадцатеричную систему счисления

Перевод производиться по тому же правило, что и в двоичную и восьмеричную, но целую часть десятичного числа нужно последовательно делить на 16 до тех пор, пока не останется остаток меньше или равный F, а дробную части нужно умножать на 16.

Пример:

Перевести десятичное число 57,15₁₀ шестнадцатеричную систему счисления:

Перевод целой части	Перевод дробной части
	× 0,       +         × 2,       +         × 6,       +           6,

Ответ: 57,15₁₀ = 39,266₁₆

Перевод двоичных (восьмеричных, шестнадцатеричных) чисел в десятичную систему счисления

При переводе числа из двоичной (восьмеричной, шестнадцатеричной) системы в десятичную надо это число представить в виде суммы степеней основания его системы счисления. Такой перевод является проверкой правильности и точности предыдущего перевода чисел из десятичной системы.

Пример:

Разряды							-1	-2	-3	-4	-5	-6
Число						1,						12	=	1·25 + 1·24 + 1·23 + 0·22 + 0·21 + 1·20 + 0·2-1 + 0·2-2 + 1·2-3 + 0·2-4 + 0·2-5 + 1·2-6 = 57,1510

Разряды			-1	-2	-3
Число		1,			48	=	7·81 + 1·80 + 1·8-1 + 4·8-2 + 4·8-3 = 57,1510

Разряды			-1	-2	-3
Число		9,			616	=	3·161 + 9·160 + 2·16-1 + 6·16-2 + 6·16-3 = 57,1510

Перевод восьмеричных и шестнадцатеричных чисел в двоичную систему счисления

Чтобы преобразовать восьмеричное или шестнадцатеричное число в двоичную систему нужно каждую цифру этого числа заменить эквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр) или тетрадой (четверкой цифр). Значения триад и тетрад можно найти по таблице в Приложении 2.

Пример: Перевод чисел 71,114₈ и 39,266₁₆.

Ответ: 71,1148 = 111001,00100112	Ответ: 39,26616 = 111001,001001100112

Перевод двоичных чисел в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления

Чтобы перевести число из двоичной системы в восьмеричную или шестнадцатеричную, его нужно разбить влево и вправо от запятой на триады (для восьмеричной) или тетрады (для шестнадцатеричной) и каждую такую группу заменить соответствующей восьмеричной (шестнадцатеричной) цифрой.