Многомерное распределение вероятностей

Элементы теории вероятности

Пусть ξ – одномерная случайная величина, которая может принимать различные значения на (−∞,+∞).

Функция распределения F случайной величины ξ есть вероятность P того, что ξ < x:

Вероятность того, что есть дифференциал

где − плотность распределения вероятности.

Математическая ожидание случайной величины ξ есть величина:

Таким образом, математическое ожидание некоторой физической величины Ψ (ξ) выражается как:

Дисперсия случайной величины ξ вычисляется по формуле:

Среднеквадратичное отклонение случайной величины ξ:

Многомерное распределение вероятностей

Пусть некоторое случайное событие описывается действительными числами ξ ₁,…, ξ _n, которые могут принимать различные значения от −∞ до +∞ и образуют случайный вектор ξ ={ ξ ₁,…, ξ _n}. В этом случае говорят об n-мерном распределении вероятностей получения различных значений x ={ x ₁,…, x _n} вектора ξ. Оно характеризуется функцией распределения .

Плотность распределения вероятностей случайного вектора ξ вычисляется по формуле:

Математическое ожидание случайного вектора ξ представляет собой вектор:

Ковариационная матрица случайного вектора ξ имеет вид:

или в матричном виде:

где диагональные элементы есть дисперсии соответствующих составляющих вектора ξ:

а недиагональные элементы называются ковариациями (корреляционными моментами):

Очевидно, что , т.е. любая ковариационная матрица симметрична. Величины

называются коэффициентами корреляции между ξ _i и ξ _j, причем .

Две случайные величины ξ _i и ξ _j, для которых (т.е. ) называются взаимно некоррелированными.

Если все составляющие вектора ξ ={ ξ ₁,…, ξ _n} взаимно не коррелированны, то вектор ξ называется некоррелированным. Его ковариационная матрица является диагональной:

Если , где некоторое число, а I – единичная матрица, то вектор ξ называется некоррелированным равноточным. Случайные величины ξ _i и ξ _j, называются независимыми, если плотность распределения . Все составляющие вектора ξ независимы в совокупности, если любая пара их взаимно независима. Для этого необходимо и достаточно, что бы .

Если две случайные величины взаимно независимы, то они некоррелированны. Однако, обратное утверждение не имеет смысла.

Если ранг ковариационной матрицы , то распределение вектора ξ называется собственным и сам вектор ξ –собственный, а при – несобственным.

Легко доказать, что любой собственный случайный вектор ξ может быть преобразован в некоторый некоррелированный равноточный вектор η.

Нормальное многомерное распределение вероятностей случайного вектора ξ ={ ξ ₁,…, ξ _n} имеет плотность распределения:

где – математическое ожидание и ковариационная матрица вектора ξ.

Свойства нормального распределения:

1) Нормальное распределение полностью определяется математическим ожиданием Е и ковариационной матрицей D рассматриваемого случайного вектора.

2) Максимум плотности этого распределения достигается в точке (в точке среднего значения случайной величины).

3) При любом разбиении ξ ={ ξ ₁,…, ξ _k} распределенного вектора ξ ={ ξ ₁,…, ξ _n} на несколько частей, эти части ξ_j (j=1,2,…,k) распределены нормально.

4) Составляющие ξ ₁,…, ξ _n любого нормально распределенного некоррелированного вектора ξ независимы в совокупности, т.е. удовлетворяют условию (т.е. составляющие вектора ξ независимы в совокупности, если любая пара их взаимно независима).

5) Любая (векторная или скалярная) линейная функция с неслучайными коэффициентами от составляющих нормально распределенного вектора также распределена нормально.

6) Путем линейного преобразования можно привести любое нормальное распределение к простейшему виду: