Пример 2 - Метод полных сечений. Построение линии пересечения прямой призмы со сферой

На рисунке 5.5 показано построение линии пересечения призмы со сферой, выполненное при помощи метода полных сечений. Сущность этого метода заключается в следующем, через грани призмы проводятся вспомогательные проецирующие плоскости, находятся линии пересечения этих плоскостей со сферой и определяются точки пересечения этих линий, расположенных в смежных гранях. Таким образом, сначала выполняются полные сечения сферы проецирующими плоскостями граней, а затем выделяются участки линии пересечения, находящиеся в пределах граней призмы.

Через грань ВС призмы ABCD проведена горизонтально-проецирующая плоскость Р (на рисунке 3.4 показан след Р_Н). Плоскость Р пересекает шар по окружности, но эта окружность наклонена к плоскости V и поэтому проецируется на плоскость V в виде эллипса, а на плоскость Н − в виде линии 1− 2 на следе Р_H. Чтобы построить эллипс, находим точки 1 и 2 в пересечении следа Р_Н с горизонтальной проекцией экватора сферы и сносим их на фронтальную проекцию экватора.

Линия 1'− 2' является малой осью эллипса. Большая ось эллипса равна диаметру окружности, получаемой при пересечении шара плоскостью Р. Этот диаметр равен отрезку 1− 2, но расположен он перпендикулярно плоскости Н. Для отыскания центра окружности опускаем из точки О перпендикуляр на след Р_Н, отмечаем точку О ₁ и находим точку . Центр О ₁ будет лежать в плоскости грани ВС на линии ММ. Из точки радиусом о_{1 −}2 делаем засечки, получая точки 3' и 4'. Линия 3' − 4' − большая ось эллипса.

По размерам большой и малой осей строим эллипс 1'− 3' − 2' − 4'.

Теперь найдем линию пересечения грани АВ с шаром. Для этогопроведем через грань АВ горизонтально-проецирующую плоскость S(на рисунке 5.5 показан след S_Н). Плоскость S пересекает шар по окружности, которая проецируется па плоскость V в виде эллипса 6'− 7' − 5' − 8', а на плоскость Н − в виде линии 6 − 5, совпадающей со следом S_Н. Окружности, лежащие на гранях АВ и ВС, пересекаются в точках, расположенных на ребре В. На эпюре эллипс 1'3'2' 4' пересекается с эллипсом 6'7'5'8' в точках n ', которые являются фронтальными проекциями точек пересечения ребра В со сферой. Таким образом, с помощью ребра В призмы выделяются участки линии пересечения шара с гранями АВ и ВС.

Линия пересечения грани ВС со сферой будет видна относительно плоскости V, так как она лежит на видимой грани ВС и на передней части сферы. Линия пересечения грани BС со сферой, лежащая на видимой грани АВ и на видимой части сферы (до главного меридиана), показана сплошной основной линией, а далее − штриховой.

Рисунок 5.5 – Пересечение прямой четырехугольной призмы с шаром

5.2.1 Развертка прямой призмы АВСD

Развертка боковой поверхности призмы АВСD представляет с собой прямоугольник (рисунок 5. 6), одна сторона которого равна высоте Н, а на второй отложены отрезки АВ = аb, BC = bc, CD = cd и DA = da. К любой из сторон методом триангуляции пристраиваются верхнее и нижнее основания призмы. Как известно, линия пересечения сферы с любой плоскостью есть окружность, поэтому линия пересечения призмы со сферой представляет собой две окружности радиусом R = O ₂5 и R = O ₁2, которые пересекаются в точках N, расположенных на ребре В – В призмы. Расстояние от центров окружностей О ₁ и О ₂ до ребра В – В берем с горизонтальной проекции ортогонального чертежа.